Символ Артина

Символ Артина — это математический объект, используемый в теории полей классов и алгебраической теории чисел, который ставит в соответствие паре, состоящей из расширения полей и простого идеала, некоторый автоморфизм расширения. Символ Артина обобщает символ Лежандра и символ норменного вычета и является центральным инструментом для формулировки закона взаимности Артина — одного из главных результатов теории полей классов.

Определение

Пусть \(L/K\) — конечное расширение Галуа полей алгебраических чисел (или, более общо, глобальных полей) с группой Галуа \(G = \mathrm{Gal}(L/K)\). Пусть \(\mathfrak{p}\) — простой идеал кольца целых чисел поля \(K\), неразветвлённый в расширении \(L/K\). Для такого идеала \(\mathfrak{p}\) можно определить его символ Артина \(\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)\), который является элементом группы Галуа \(G\). Символ Артина характеризуется следующим свойством: для любого простого идеала \(\mathfrak{P}\) поля \(L\), лежащего над \(\mathfrak{p}\), выполняется соотношение

\[ \left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)(\alpha) \equiv \alpha^{N(\mathfrak{p})} \pmod{\mathfrak{P}}, \]

где \(N(\mathfrak{p})\) — абсолютная норма идеала \(\mathfrak{p}\) (число элементов в поле вычетов \(K/\mathfrak{p}\)), а \(\alpha\) — произвольный элемент кольца целых чисел поля \(L\). Это равенство понимается в поле вычетов \(L/\mathfrak{P}\).

Иными словами, символ Артина \(\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)\) является элементом группы Галуа, который на поле вычетов действует как автоморфизм Фробениуса, то есть возведение в степень \(N(\mathfrak{p})\). Этот автоморфизм однозначно определяется тем, что он переводит элемент \(\alpha\) в его \(N(\mathfrak{p})\)-ю степень по модулю \(\mathfrak{P}\).

Свойства

Символ Артина обладает рядом фундаментальных свойств, которые делают его удобным инструментом.

• Мультипликативность: Если \(\mathfrak{p}\) и \(\mathfrak{q}\) — два неразветвлённых простых идеала поля \(K\), то

\[ \left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}\mathfrak{q}}\right) = \left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right) \left(\frac{L/K}{\mathfrak{q}}\right). \] Это свойство позволяет распространить определение на произвольные идеалы, взаимно простые с дискриминантом расширения, по мультипликативности.

• Функториальность: Для расширения полей \(M/L/K\) и подходящего простого идеала \(\mathfrak{p}\) поля \(K\) символ Артина для композиции расширений связан с символами для промежуточных расширений. В частности, если \(M\) — промежуточное поле между \(K\) и \(L\), то символ Артина для расширения \(M/K\) получается ограничением символа для \(L/K\) на подгруппу \(\mathrm{Gal}(L/M)\).

• Сопряжённость: Если \(\tau \in G\), то

\[ \left(\frac{L/K}{\tau(\mathfrak{p})}\right) = \tau \left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right) \tau^{-1}. \]

• Степень расширения: Символ Артина является элементом группы Галуа, порядок которого равен степени поля вычетов расширения \(L/K\) в точке \(\mathfrak{p}\). Если \(\mathfrak{p}\) полностью расщепляется в \(L\), то символ Артина равен единичному элементу.

Закон взаимности Артина

Основное значение символа Артина раскрывается в законе взаимности Артина, который является центральным результатом теории полей классов. Этот закон устанавливает изоморфизм между группой иделей (или группой классов иделей) поля \(K\) и группой Галуа максимального абелева расширения поля \(K\).

В терминах символа Артина закон взаимности утверждает, что отображение, сопоставляющее каждому простому идеалу \(\mathfrak{p}\) (неразветвлённому) символ Артина \(\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)\), продолжается до гомоморфизма из группы фракционных идеалов поля \(K\), взаимно простых с дискриминантом, в группу Галуа \(G\). Ядро этого гомоморфизма состоит из главных идеалов, порождённых элементами, которые являются нормами из поля \(L\). Таким образом, символ Артина даёт явное описание абелевых расширений полей алгебраических чисел.

Частные случаи и обобщения

Символ Лежандра

Символ Артина является прямым обобщением квадратичного символа Лежандра. Для квадратичного расширения \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}\) и нечётного простого числа \(p\), не делящего дискриминант, символ Артина \(\left(\frac{\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}}{p}\right)\) равен единичному автоморфизму, если \(d\) является квадратичным вычетом по модулю \(p\), и автоморфизму, переводящему \(\sqrt{d}\) в \(-\sqrt{d}\), в противном случае. Таким образом, символ Артина совпадает с символом Лежандра \(\left(\frac{d}{p}\right)\).

Символ норменного вычета

В локальной теории полей классов (для расширений локальных полей, таких как поля \(p\)-адических чисел) аналогом символа Артина является символ норменного вычета (или символ Гильберта). Он также ставит в соответствие паре элементов из поля и его абелева расширения элемент группы Галуа и играет ключевую роль в формулировке локального закона взаимности.

Обобщение на высшие группы

Символ Артина может быть обобщён на случай высших групп Галуа (например, в рамках теории полей классов для высших локальных полей или в мотивной теории). В частности, существуют обобщения, связанные с символом Артина–Хассе, который используется в теории эллиптических кривых и модулярных форм.

Применение

Символ Артина является фундаментальным инструментом в алгебраической теории чисел. Он используется:

• Для доказательства закона взаимности Артина и построения теории полей классов.
• Для изучения распределения простых чисел в абелевых расширениях (теорема Чеботарёва о плотности, которая обобщает теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях).
• В теории \(L\)-функций Артина, где символ Артина определяет локальные множители.
• При построении явных полей классов (например, для мнимых квадратичных полей с помощью комплексного умножения).
• В криптографии, в частности, в протоколах, основанных на сложности вычисления символа Артина (например, в некоторых схемах с открытым ключом).

Интересные факты

• Символ Артина назван в честь немецкого математика Эмиля Артина, который ввёл его в 1920-х годах в рамках своей работы над законом взаимности.
• Символ Артина является ключевым элементом в доказательстве теоремы Кронекера–Вебера, которая утверждает, что любое абелево расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
• В отличие от символа Лежандра, который определён только для квадратичных расширений, символ Артина работает для произвольных абелевых расширений полей алгебраических чисел.
• Вычисление символа Артина для конкретных расширений может быть сложной задачей, но существуют алгоритмы, основанные на теории полей классов и использовании модулярных форм.