Синусоида — математическая функция и её свойства¶

Синусоида — график тригонометрической функции синуса (или косинуса), представляющий собой периодическую волновую кривую, плавно повторяющуюся вдоль оси аргумента. В широком инженерном смысле синусоидой называют любую физическую величину или сигнал, изменяющийся по закону синуса или косинуса от времени или пространственной координаты. Термин происходит от имени древнегреческого математика Гиппиха, ввёвшего понятие хорды, связанной с современным синусом.

¶Математическое определение

Синусоида описывается функцией вида

y(t) = A·sin(ωt + φ) + B,

где A — амплитуда (полуразмах колебания), ω — угловая частота, определяющая период T = 2π/ω, φ — начальная фаза, B — смещение (уровень, вокруг которого происходит колебание). Если B = 0, кривая симметрична относительно оси аргумента. Графиком функции y = cos x является та же кривая, сдвинутая по оси аргумента на π/2, поэтому синус и косинус считаются синусоидальными функциями.

Ключевые свойства синусоиды:

• периодичность: y(t + T) = y(t);
• чётность или нечётность в зависимости от фазы: sin x — нечётная функция, cos x — чётная;
• производная синусоиды — тоже синусоида, сдвинутая по фазе на π/2 и умноженная на ω;
• интеграл синусоиды — синусоида со сдвигом фазы на −π/2.

Синусоида является единственной периодической функцией, сохраняющей форму при дифференцировании и интегрировании, что делает её центральной в теории линейных систем.

¶Синусоида в тригонометрии и геометрии

Построение синусоиды связано с равномерным движением точки по окружности. Если точка движется по единичной окружности с постоянной угловой скоростью, то её проекция на вертикальную ось описывает синус, а на горизонтальную — косинус. Такое геометрическое определение лежит в основе учебного изложения тригонометрических функций.

Синусоида возникает при «разворачивании» окружности: если обмотать цилиндр нитью и постепенно разматывать её, отмечая положение точки касания, получится синусоида. Этот приём использовался в ранних механических устройствах для преобразования вращательного движения в поступательное.

¶Синусоидальные колебания в физике

Синусоида описывает широкий класс физических процессов:

• механические колебания: маятника, груза на пружине, струны;
• электромагнитные колебания в контурах и волны в среде;
• звуковые волны в воздухе;
• колебания температуры и давления в атмосфере.

Идеальные линейные системы при свободных колебаниях всегда совершают синусоидальные колебания. При вынужденных колебаниях установившийся режим также синусоидален, но с частотой вынуждающего воздействия.

¶Синусоидальный сигнал в электротехнике

Переменный электрический ток и напряжение в энергосистемах имеют синусоидальную форму. Стандарты качества электроэнергии (в России — ГОСТ 32144-2013) ограничивают искажение синусоиды коэффициентом гармоник. Синусоидальный сигнал удобен тем, что при прохождении через линейные цепи (резисторы, конденсаторы, катушки) он сохраняет форму, меняя лишь амплитуду и фазу.

В теории цепей синусоидальный режим анализируют методом комплексных амплитуд (методом Капицы — в русской традиции — операторным методом), переводя дифференциальные уравнения в алгебраические.

¶Разложение произвольных сигналов в ряд Фурье

Любая достаточно гладкая периодическая функция представляется суммой синусоид различной частоты и амплитуды — ряд Фурье. Несинусоидальные сигналы (прямоугольные, пилообразные, треугольные импульсы) разлагаются на гармоники-синусоиды. Это свойство делает синусоиду базовой «кирпичиком» в спектральном анализе, обработке сигналов, теории связи.

Несинусоидальность формы в электротехнике характеризуют коэффициентом искажений и набором гармоник — кратных частот синусоидальных составляющих.

¶Применение

Синусоидальные колебания используются в радиотехнике для переноса информации (амплитудная и частотная модуляция), в акустике для калибровки и испытаний, в медицине — в электрокардиографии и электроэнцефалографии, где биопотенциалы анализируют как сумму синусоидальных компонент. В механике кривошипно-шатунный механизм преобразует вращение коленчатого вала в поступательное движение шатуна, приближённо воспроизводя синусоидальный закон.

¶Интересные факты

• Синусоида — единственная кривая, которая при отражении, масштабировании и параллельном переносе остаётся синусоидой.
• В средневековой арабской математике синус назывался «джиб» (jiba), позднее искажённо записанный как «сайнус» (sinus) в латинских переводах.
• В природе синусоидальные формы встречаются редко: реальные колебания всегда содержат затухание или нелинейности, поэтому идеальная синусоида — математическая модель.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.
• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.
• ГОСТ 32144-2013 «Электрическая энергия. Нормы качества электрической энергии».
• Зорич В. А. Математический анализ.
• Хайкин С. Э. Символическая техника в электротехнике.