Система счисления¶
Система счисления — это способ записи чисел с помощью символов (цифр) и правил их сочетания, позволяющий однозначно представлять любое число и выполнять над ним арифметические операции. Системы счисления делятся на позиционные (где значение цифры зависит от её места в записи) и непозиционные (где значение символа не зависит от позиции). Наиболее распространена десятичная позиционная система счисления, используемая повсеместно в быту, науке и технике.
¶История
Первые системы счисления возникли в древности как способы счёта и учёта. Древние египтяне, шумеры, индийцы и китайцы независимо друг от друга создали непозиционные системы, в которых каждому числу соответствовал отдельный набор символов. Так, в Древнем Египте для обозначения чисел использовались иероглифы: палочка — единица, локоть — десятка, завиток — сотня, лягушка — тысяча и так далее до миллиона.
Древние греки и римляне развили буквенно-цифровые системы: в Древней Греции числа записывались буквами греческого алфавита, в Древнем Риме — римскими цифрами (I, V, X, L, C, D, M). Римская система была непозиционной, что сильно затрудняло арифметические вычисления.
Позиционная система счисления с нулём была впервые создана в Индии в I—IV веках н. э. и получила развитие в трудах индийских математиков, включая Брахмагупту (VII век). Через арабских учёных, прежде всего аль-Хорезми (IX век), индийская система была передана в Европу, откуда и получила название «арабские цифры». В Европе позиционная десятичная система окончательно утвердилась к XVI—XVII векам.
¶Классификация
По способу записи чисел системы счисления делятся на две большие группы:
- Непозиционные — значение символа не зависит от его положения в записи. Примеры: римская, древнеегипетская, шумерская системы. Недостаток — сложность выполнения арифметических операций.
- Позиционные — значение цифры определяется её разрядом (местом в записи). Каждый разряд соответствует целой степени основания системы. Позиционные системы удобны для вычислений.
Позиционные системы, в свою очередь, классифицируются по основанию (радиусу) — числу различных цифр, используемых для записи чисел:
| Основание | Название | Цифры | Применение |
|---|---|---|---|
| 2 | двоичная | 0, 1 | вычислительная техника |
| 8 | восьмеричная | 0—7 | программирование, Unix-права |
| 10 | десятичная | 0—9 | повседневная жизнь |
| 16 | шестнадцатеричная | 0—9, A—F | программирование, адресация |
| 60 | шестидесятеричная | — | время, географические координаты |
¶Устройство позиционной системы
В позиционной системе с основанием b любое число записывается в виде:
N = aₙ·bⁿ + aₙ₋₁·bⁿ⁻¹ + … + a₁·b + a₀
где цифры aᵢ принимают значения от 0 до b−1. Каждый разряд числа соответствует степени основания. Например, число 2023 в десятичной системе раскладывается как 2·10³ + 0·10² + 2·10 + 3.
Важнейшим элементом позиционной системы стал ноль — цифра, обозначающая отсутствие единиц соответствующего разряда. Появление нуля (и его отдельного символа) позволило записывать числа компактно и однозначно, что стало ключевым преимуществом индийской системы.
¶Перевод между системами счисления
Перевод числа из одной позиционной системы в другую выполняется по общему правилу. Для перевода из системы с основанием b в десятичную число разбирают по разрядам и вычисляют сумму произведений цифр на соответствующие степени b. Для перевода из десятичной системы в систему с основанием b число последовательно делят на b, записывая остатки в обратном порядке.
Некоторые основания допускают особо простой перевод: числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах переводятся друг в друга побитово, так как 2³ = 8 и 2⁴ = 16. Каждая цифра восьмеричной системы соответствует трём двоичным разрядам, шестнадцатеричной — четырём.
¶Применение
Десятичная система используется в образовании, торговле, науке и повседневной жизни. Двоичная система является основой цифровой техники: все данные в компьютерах — числа, текст, изображения, звук — хранятся и обрабатываются в виде последовательностей нулей и единиц. Шестнадцатеричная и восьмеричная системы применяются в программировании как компактная запись двоичных данных. Шестидесятеричная система, унаследованная от шумеров, используется для измерения времени (60 секунд, 60 минут) и углов (360°).
¶Интересные факты
- Слово «цифра» происходит от арабского «сифр» (صفر), что означает «пустота», «ноль».
- В русском языке слово «цифра» изначально обозначало именно ноль, а позднее стало означать любой знак записи чисел.
- Древние римляне не имели символа для нуля, что делало запись больших чисел громоздкой, а вычисления — крайне неудобными.
¶Источники
- Виленкин Н. Я. «За страницами учебника арифметики»
- Бурмистрова В. Г. «История математики»
- Кудрявцев Л. Д. «Курс истории математики»
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
- Большая российская энциклопедия, статья «Система счисления»