Скаляр — понятие математики и физики¶

Скаляр (от лат. scalaris — «ступенчатый», «расположенный по лестнице») — математическое и физическое понятие, обозначающее величину, определяемую одним числом (одной числовой координатой), в отличие от вектора, который требует для полного описания нескольких компонент. В физике скалярами называют такие характеристики систем, как масса, энергия, температура, время, электрический потенциал, заряд, плотность, энтропия и ряд других. Свойство объекта быть скаляром тесно связано с понятием инвариантности: скаляр не меняется при поворотах системы координат.

¶Определение и математические свойства

В линейной алгебре скаляр — это элемент поля, на котором определено векторное пространство. Скаляры умножаются на векторы, масштабируя их без изменения направления. В координатном представлении скаляр — это величина, преобразующаяся при смене системы координат тривиально: если применить поворот или ортогональное преобразование, скаляр остаётся неизменным.

Ключевые свойства скаляров:

• Абсолютная величина — скаляр задаётся одним действительным (или комплексным) числом.
• Инвариантность — значение скаляра не зависит от выбора системы отсчёта и ориентации осей.
• Алгебраические операции — сумма и произведение скаляров являются скалярами; скалярное произведение двух векторов также является скаляром.

Скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат вычисляется как сумма произведений соответствующих компонент: a·b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z. Результат — число, не зависящее от поворота системы координат, что и делает его скаляром.

¶Скаляр в физике

В физике скалярные величины противопоставляются векторным и тензорным. К основным скалярам относятся:

Скалярные поля — это функции, сопоставляющие каждому пространственно-временному точке одно число. Примеры: поле температуры, поле давления, скалярный потенциал гравитационного или электрического поля.

¶Скалярное поле в теории относительности

В специальной теории относительности скаляр Лоренца — это величина, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта. Пример — так называемый интервал s² = c²t² − x² − y² − z², определяемый через координаты события в четырёхмерном пространстве Минковского. Скалярная величина в релятивистской теории поля — это скалярное поле, преобразующееся при лоренцевых преобразованиях как инвариант, то есть не меняющее значения.

¶Скалярные и векторные величины: различия

Скалярная величина обладает только числовым значением, в то время как векторная — числом и направлением. Например, скорость — вектор, а модуль скорости (скоростной показатель) — скаляр. Работа силы — скаляр, сила — вектор. Температура — скаляр, градиент температуры — вектор. Это различие принципиально при описании законов физики: уравнения, содержащие только скалярные величины, как правило, проще и не зависят от ориентации системы координат.

¶Скаляр в тензорном исчислении

В тензорном исчислении скаляр рассматривается как тензор нулевого ранга. Вектор — тензор первого ранга, тензор напряжённости — второго ранга и так далее. Скалярные инварианты тензоров — это величины, не меняющиеся при преобразованиях координат. Например, след тензора напряжённости — скаляр, равный сумме его диагональных компонент.

¶Применение

Скалярные величины и поля применяются во многих областях науки и техники:

• Физика полей — скалярные потенциалы для описания гравитационного и электрического полей.
• Термодинамика — внутренняя энергия, энтропия, давление, температура.
• Квантовая механика — волновая функция частицы формально является скалярным полем (в нерелятивистском случае), а операторы наблюдаемых величин действуют на скалярные функции.
• Компьютерная графика — скалярные величины используются для хранения цвета (яркость), глубины и других атрибутов пикселей.
• Программирование — термин «скаляр» применяется к простым типам данных (целое число, вещественное число), в отличие от составных типов — массивов, структур, векторов.

¶История термина

Термин «скаляр» ввёл в научный оборот математик Уильям Роуэн Гамильтон в XIX веке в связи с развитием теории кватернионов. Гамильтон разделил кватернионы на скалярную (числовую) и векторную части, что послужило основой для современного различения скалярных и векторных величин. Позднее понятие было распространено на тензорное исчисление, созданное Грегорио Курбьо и другими исследователями в конце XIX — начале XX века.

¶История

• Гамильтон У. Р. «Лекции о кватернионах». Дублин, 1853.
• Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. «Теоретическая физика», т. 2: «Теория поля».
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике», т. 1.
• Арнольд В. И. «Математические методы классической механики».