Соответствие AdS/CFT¶

AdS/CFT-соответствие (голографический принцип, дуальность Малдасены) — это гипотетическое соотношение между двумя физическими теориями: теорией гравитации в пространстве анти-де Ситтера (AdS) и конформной теорией поля (CFT) на границе этого пространства. Предложенное Хуаном Малдасеной в 1997 году, это соответствие является одним из наиболее значительных достижений теоретической физики конца XX века, связывающим квантовую гравитацию и теорию струн с калибровочными теориями поля, такими как квантовая хромодинамика.

¶История

Идея голографического принципа была впервые сформулирована Герардом ’т Хоофтом в 1993 году и развита Леонардом Сасскиндом. Она предполагала, что вся информация, содержащаяся в объёме пространства, может быть закодирована на его границе. В 1997 году аргентинский физик Хуан Малдасена, работавший тогда в Гарвардском университете, опубликовал статью «The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity», в которой впервые строго сформулировал дуальность между теорией струн в пространстве AdS₅ × S⁵ и суперсимметричной калибровочной теорией (N=4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса) на четырёхмерной границе.

Работа Малдасены вызвала огромный резонанс. К 2000-м годам AdS/CFT-соответствие стало центральной темой исследований в теории струн и квантовой гравитации. Были найдены многочисленные обобщения и варианты дуальности для различных размерностей пространств и типов теорий поля. В 2010-х годах соответствие начало применяться в физике конденсированного состояния и квантовой хромодинамике, хотя его строгое математическое доказательство до сих пор отсутствует.

¶Основные положения

¶Формулировка дуальности

AdS/CFT-соответствие утверждает, что существует точная эквивалентность между:

• Теорией гравитации (включая квантовые эффекты) в (d+1)-мерном пространстве-времени с отрицательной космологической постоянной (пространство анти-де Ситтера, AdS).
• Конформной теорией поля (CFT) без гравитации, живущей на d-мерной границе этого пространства.

Параметры обеих теорий связаны определёнными соотношениями. Например, радиус кривизны пространства AdS в единицах струнной длины пропорционален (λ)^(1/4), где λ — константа связи в теории поля. Сильная связь в одной теории соответствует слабой связи в другой, что делает дуальность мощным инструментом для изучения непертурбативных эффектов.

¶Пространство анти-де Ситтера

Пространство анти-де Ситтера (AdS) — это максимально симметричное решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной. В отличие от пространства де Ситтера (положительная кривизна), AdS имеет границу, на которой и живёт дуальная теория поля. Наиболее часто используемая версия — AdS₅ × S⁵, где пятимерное пространство AdS дополнено пятимерной сферой.

¶Конформная теория поля

Конформная теория поля (CFT) — это квантовая теория поля, инвариантная относительно конформных преобразований, то есть масштабных и угловых симметрий. В случае дуальности Малдасены это N=4 суперсимметричная теория Янга — Миллса с калибровочной группой SU(N). Она описывает взаимодействие глюонов и четырёх типов фермионов и шести типов скалярных частиц.

¶Математическая структура

¶Словарь соответствия

AdS/CFT-соответствие устанавливает точное отображение между операторами и состояниями обеих теорий:

• Каждому полю в объёме AdS (например, гравитону, калибровочному полю) соответствует конформный оператор в CFT.
• Граничные значения полей в AdS служат источниками для операторов в CFT.
• Корреляционные функции в CFT вычисляются через функционал действия гравитационной теории.

Формально, производящий функционал CFT равен экспоненте от действия гравитации, взятому с определёнными граничными условиями: \[ Z_{CFT}[J] = \int D\phi \, e^{-S_{CFT} + \int J O} = e^{-S_{AdS}[\phi_0]}, \] где \(\phi_0\) — граничное значение поля в AdS, а \(J\) — источник для оператора \(O\).

¶Параметры дуальности

Основные параметры:

• N — ранг калибровочной группы SU(N) в CFT, соответствует числу D3-бран в теории струн.
• λ = g²N — константа связи 'т Хоофта, определяет радиус кривизны AdS в единицах струнной длины.
• g_s — струнная константа связи, связана с λ.

При больших N и λ (сильная связь в CFT) гравитационное описание становится классическим, что позволяет делать предсказания для непертурбативной квантовой теории поля.

¶Применения

¶Квантовая хромодинамика

Хотя точное AdS/CFT-соответствие применимо к суперсимметричным теориям, существуют голографические модели для квантовой хромодинамики (КХД), такие как модель Сакаи — Сугимото. Они позволяют вычислять свойства адронов, такие как массы мезонов и барионов, а также описывать фазовые переходы в кварк-глюонной плазме. Например, отношение вязкости к плотности энтропии, предсказанное голографией (η/s = 1/4π), было подтверждено экспериментами на коллайдере RHIC.

¶Физика конденсированного состояния

AdS/CFT-соответствие используется для описания сильно коррелированных электронных систем, таких как высокотемпературные сверхпроводники. Голографические модели позволяют изучать фазовые переходы, транспортные свойства и энтропию запутанности в таких системах. Например, модель Хартнолла — Хоровица — Рангамани описывает голографическую сверхпроводимость.

¶Квантовая информация

В последние годы AdS/CFT-соответствие применяется в квантовой теории информации. Было показано, что энтропия запутанности в CFT равна площади минимальной поверхности в объёме AdS (формула Рю — Такаянаги). Это привело к пониманию того, как гравитация и геометрия пространства-времени могут возникать из квантовой запутанности.

¶Критика и ограничения

AdS/CFT-соответствие остаётся гипотезой, не имеющей строгого математического доказательства. Основные ограничения:

• Отсутствие точного доказательства: для общих случаев дуальность не доказана, хотя проверена для многих частных примеров.
• Применимость к реальному миру: наше пространство-время не является анти-де Ситтеровским, поэтому прямое применение к физике элементарных частиц ограничено. Существуют попытки обобщения на пространства де Ситтера (dS/CFT), но они менее развиты.
• Непертурбативные эффекты: при малых N или λ гравитационное описание становится квантовым и требует учёта струнных поправок, что значительно усложняет вычисления.
• Проблема времени: в статическом пространстве AdS время определено однозначно, но в реальных космологических моделях это не так.

¶Интересные факты

• Хуан Малдасена получил за открытие AdS/CFT-соответствия медаль Дирака (1999) и премию по фундаментальной физике (2012).
• Соответствие иногда называют «голографической дуальностью», поскольку оно напоминает принцип голограммы: трёхмерная информация кодируется на двумерной поверхности.
• В 2013 году было показано, что энтропия чёрной дыры в AdS соответствует энтропии запутанности в CFT, что подтверждает голографический принцип.

¶Источники

• Maldacena, J. (1998). «The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity». Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2, 231–252.
• Witten, E. (1998). «Anti-de Sitter Space and Holography». Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2, 253–291.
• Gubser, S. S., Klebanov, I. R., & Polyakov, A. M. (1998). «Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory». Physics Letters B, 428, 105–114.
• Аммон, М., & Эрдмингер, Й. (2015). «Голографический принцип и AdS/CFT-соответствие». — М.: Издательство МЦНМО.
• Hartnoll, S. A., Lucas, A., & Sachdev, S. (2018). «Holographic Quantum Matter». — MIT Press.