Сюрреальные числа¶

Сюрреальные числа — это расширение множества действительных чисел, включающее бесконечно большие и бесконечно малые величины, а также все обычные вещественные числа. Они были введены британским математиком Джоном Конвеем в 1970-х годах и получили дальнейшее развитие в его книге «О числах и играх» (1976). Сюрреальные числа образуют упорядоченное поле, которое является максимальным по включению среди всех упорядоченных полей, то есть содержит все возможные упорядоченные поля в качестве подполей. Они находят применение в теории игр, комбинаторике и некоторых разделах анализа.

¶Определение и построение

Сюрреальные числа строятся рекурсивно с использованием двух правил: правила построения и правила сравнения. Каждое сюрреальное число определяется как пара множеств чисел, уже построенных на предыдущих шагах. Формально:

• Правило построения: Если \(L\) и \(R\) — два множества сюрреальных чисел, причём ни один элемент из \(L\) не больше или равен ни одному элементу из \(R\) (то есть для всех \(l \in L\) и \(r \in R\) выполняется \(l < r\)), то существует сюрреальное число \(x = \{L \mid R\}\).

• Правило сравнения: Для двух сюрреальных чисел \(x = \{L_x \mid R_x\}\) и \(y = \{L_y \mid R_y\}\) выполняется \(x \le y\) тогда и только тогда, когда не существует \(l \in L_x\) такого, что \(y \le l\), и не существует \(r \in R_y\) такого, что \(r \le x\).

Начальным шагом построения является число \(0 = \{\varnothing \mid \varnothing\}\), где оба множества пусты. Далее, используя пустые множества, можно получить:

• \(1 = \{0 \mid \varnothing\}\),
• \(-1 = \{\varnothing \mid 0\}\),
• \(2 = \{1 \mid \varnothing\}\),
• \(\frac{1}{2} = \{0 \mid 1\}\).

Таким образом, все обычные рациональные и действительные числа могут быть представлены в виде сюрреальных чисел. Бесконечно малые числа, такие как \(\varepsilon = \{0 \mid 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots\}\), и бесконечно большие, такие как \(\omega = \{0, 1, 2, 3, \dots \mid \varnothing\}\), также являются сюрреальными.

¶Свойства сюрреальных чисел

¶Упорядоченное поле

Сюрреальные числа образуют упорядоченное поле, то есть для них определены операции сложения, умножения, вычитания и деления, а также отношение порядка, удовлетворяющее аксиомам поля. Это поле является вещественно замкнутым, что означает, что любой многочлен нечётной степени с коэффициентами из сюрреальных чисел имеет корень в этом поле. Однако сюрреальные числа не являются архимедовым полем: существуют бесконечно малые числа, которые меньше любого положительного рационального числа, и бесконечно большие, которые больше любого натурального числа.

¶Иерархия и дни рождения

Каждое сюрреальное число имеет «день рождения» — порядковый номер шага рекурсии, на котором оно было построено. Например, число 0 имеет день рождения 0, числа 1 и -1 — день 1, числа 2, -2, 1/2, -1/2 — день 2 и так далее. Бесконечно малые числа, такие как \(\varepsilon\), могут иметь день рождения, равный \(\omega\) (первый бесконечный ординал). Эта иерархия позволяет классифицировать числа по сложности их построения.

¶Связь с ординалами

Сюрреальные числа включают в себя все ординалы (трансфинитные числа, используемые в теории множеств). Например, ординал \(\omega\) представляется как \(\{0, 1, 2, \dots \mid \varnothing\}\), а ординал \(\omega + 1\) — как \(\{0, 1, 2, \dots, \omega \mid \varnothing\}\). При этом сюрреальные числа содержат также обратные величины к ординалам, например, \(1/\omega = \{0 \mid 1, 1/2, 1/4, \dots\}\).

¶Применение

¶Теория игр

Сюрреальные числа тесно связаны с комбинаторной теорией игр, разработанной Конвеем. В этой теории любая позиция игры (например, игра «Ним» или «Го») может быть представлена как сюрреальное число или более общий объект — «игра». Если игра является числом, то она «холодная» (не имеет преимущества для хода), и её значение указывает на перевес одного из игроков. Например, игра с значением 0 означает, что второй игрок имеет выигрышную стратегию, а положительное число — что первый игрок выигрывает.

¶Анализ и нестандартный анализ

Сюрреальные числа используются в нестандартном анализе как альтернатива гипердействительным числам. Они позволяют строго работать с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами без использования ультрафильтров. В частности, сюрреальные числа могут служить моделью для дифференциального исчисления, где производная определяется через бесконечно малые приращения.

¶Комбинаторика и теория множеств

В теории множеств сюрреальные числа применяются для изучения порядковых типов и комбинаторных структур. Они также используются в теории вероятностей для моделирования случайных величин с бесконечными или бесконечно малыми значениями.

¶Критика и ограничения

Несмотря на свою элегантность, сюрреальные числа имеют ограниченное практическое применение в стандартном математическом анализе из-за своей сложности и неархимедовой природы. Большинство теорем анализа, основанных на архимедовом свойстве (например, существование предела), не переносятся на сюрреальные числа без модификаций. Кроме того, построение сюрреальных чисел требует аксиомы выбора или её ослабленных версий, что может быть проблематично для некоторых конструктивных математических школ.

¶Интересные факты

• Конвей ввёл сюрреальные числа, работая над теорией игр, и первоначально назвал их «сюрреалистическими числами» (от surreal — «сюрреалистический»), но позже термин сократился до «сюрреальные».
• Сюрреальные числа содержат в себе все вещественные числа, все ординалы и все бесконечно малые величины, но не являются множеством в смысле теории множеств Цермело — Френкеля, так как их совокупность слишком велика (является собственным классом).
• В 2000-х годах математик Филипп Эрлих показал, что сюрреальные числа изоморфны максимальному упорядоченному полю, что делает их уникальным объектом в теории полей.

¶Источники

• Conway, J. H. (1976). On Numbers and Games. Academic Press.
• Knuth, D. E. (1974). Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Addison-Wesley.
• Ehrlich, P. (2001). «Number Systems with Simplicity Hierarchies: A Generalization of Conway’s Theory of Surreal Numbers». Journal of Symbolic Logic, 66(3), 1231–1258.