Телесный угол в геометрии и физике¶

Телесный угол — это часть пространства, ограниченная одной замкнутой конической поверхностью (в общем случае — произвольной конической поверхностью с вершиной в некоторой точке). Телесный угол является мерой «раскрытия» пучка лучей, выходящих из общей вершины, и служит трёхмерным аналогом плоского угла. Единицей измерения телесного угла в Международной системе единиц (СИ) является стерадиан (ср, sr).

¶Определение и основные понятия

Телесный угол Ω определяется как отношение площади S поверхности сферы, вырезаемой конической поверхностью с вершиной в центре сферы, к квадрату радиуса R этой сферы:

Ω = S / R².

Если вершина угла помещена в центр сферы радиуса R, то полный телесный угол, охватывающий всё пространство, равен 4π стерадианов (площадь сферы 4πR², делённая на R²). Телесный угол, опирающийся на одну восьмую часть пространства (октант), равен π/2 ср. Максимальный телесный угол, который может образовать одна плоская поверхность, равен 2π ср (полупространство).

Стерадиан — безразмерная производная единица СИ, определяемая как телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на её поверхности площадь, равную квадрату радиуса. Поскольку стерадиан есть отношение двух площадей, он не имеет размерности, однако для ясности его указывают явно.

¶Связь с плоским углом

Для узкого конуса с малым углом раствора θ (углом между осью и образующей) телесный угол приближённо равен площади круга на сфере:

Ω ≈ π θ²,

где θ выражено в радианах. Точная формула для конуса с углом раствора 2θ:

Ω = 2π (1 − cos θ).

При θ = π/2 (полупространство) получаем Ω = 2π ср, что согласуется с определением. При малых θ справедливо разложение cos θ ≈ 1 − θ²/2, дающее Ω ≈ πθ².

¶Дифференциальная форма

В сферических координатах элемент телесного угла выражается через полярный угол θ (отсчитываемый от оси) и азимутальный угол φ:

dΩ = sin θ dθ dφ.

Интегрирование по полному телесному углу даёт:

∫ dΩ = ∫₀²π dφ ∫₀^π sin θ dθ = 4π.

Эта формула широко используется при вычислении потоков излучения и в задачах рассеяния.

¶Применение в физике

¶Фотометрия и радиометрия

В фотометрии телесный угол — ключевое понятие при определении силы света и яркости. Сила света I измеряется в канделах и определяется как световой поток Φ, приходящийся на единицу телесного угла:

I = dΦ / dΩ.

Яркость (радианс) L источника равна отношению силы света к площади проекции излучающей поверхности:

L = dI / (dA cos θ).

¶Астрономия

В астрономии телесный угол применяется при оценке потоков излучения от протяжённых объектов и при расчёте поверхностной яркости. Например, телесный угол, под которым виден диск Солнца с Земли, составляет около 6,8·10⁻⁵ ср. Телесный угол всего небесного свода равен 4π ср, что используется при подсчёте числа галактик на единицу телесного угла.

¶Ядерная физика и физика элементарных частиц

В физике элементарных частиц сечение рассеяния часто выражают в дифференциальной форме dσ/dΩ — на единицу телесного угла. Это позволяет описывать угловое распределение рассеянных частиц. Экспериментальные данные по рассеянию Резерфорда, Комптона и других процессов традиционно представляются в виде зависимости dσ/dΩ от угла рассеяния.

¶Тепловое излучение

Закон Стефана — Больцмана и закон Ламберта используют телесный угол при интегрировании излучения по полусфере. Для ламбертовской поверхности интенсивность излучения не зависит от направления, а полная излучательная способность получается интегрированием по телесному углу 2π ср с учётом косинуса угла.

¶Применение в технике

Телесный угол используется в расчётах антенн (коэффициент направленного действия и диаграмма направленности), в радиолокации, в оптике при проектировании объективов и осветительных систем, а также в компьютерной графике при моделировании глобального освещения и методов трассировки лучей.

В светотехнике нормируются телесные углы излучения светильников; в архитектурной акустике телесный угол учитывается при расчёте распространения звука.

¶Вычисление для типовых поверхностей

Здесь α — угол между осью и направлением на край диска.

¶История и развитие понятия

Понятие телесного угла возникло в античной геометрии при изучении конических сечений, однако строгое определение сложилось в XVIII–XIX веках в связи с развитием аналитической геометрии и математического анализа. Термин «стерадиан» был предложен в конце XIX века и официально принят в качестве единицы измерения в системе СИ в 1960 году на XI Генеральной конференции по мерам и весам. В российской научной традиции телесный угол рассматривается в курсах математического анализа, теоретической физики и светотехники.

¶Смежные понятия

Телесный угол тесно связан с понятием плоского угла (двумерный аналог), а также с понятиями потока вектора через поверхность и теоремы Гаусса. В электродинамике телесный угол используется при выводе закона Гаусса для точечного заряда: поток напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален охваченному телесному углу.

Источники: курс общей физики, справочники по светотехнике, материалы по системе единиц СИ, учебники по математическому анализу.