Теорема Петровского

Теорема Петровского — это совокупность результатов в области теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики, полученных советским математиком Иваном Георгиевичем Петровским в 1930-х — 1940-х годах. Наиболее известны две теоремы, носящие его имя: теорема о гиперболичности систем уравнений с частными производными (теорема Петровского о гиперболичности) и теорема о числе перемен знака решения параболического уравнения (теорема Петровского о числе перемен знака). Обе теоремы являются фундаментальными для качественной теории дифференциальных уравнений и имеют широкое применение в гидродинамике, теории упругости и квантовой механике.

История

Иван Георгиевич Петровский (1901—1973) — один из крупнейших математиков XX века, академик АН СССР, ректор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (1951—1973). Его работы в области дифференциальных уравнений заложили основы современной теории уравнений с частными производными. Первая теорема, связанная с гиперболичностью, была опубликована в 1937 году в статье «О задаче Коши для систем линейных уравнений с частными производными» (Успехи математических наук, вып. 2). Вторая теорема, касающаяся параболических уравнений, появилась в 1945 году в работе «О некоторых свойствах решений параболических уравнений» (Доклады АН СССР, т. 47, № 3). Обе теоремы стали результатом систематического изучения Петровским классификации дифференциальных операторов и свойств их решений, что продолжило традиции, заложенные Огюстеном Луи Коши, Софусом Ли и Жаком Адамаром.

Теорема Петровского о гиперболичности

Определение гиперболичности по Петровскому

Петровский обобщил понятие гиперболичности для систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка. В классической теории гиперболическими называются уравнения второго порядка (например, волновое уравнение), для которых задача Коши корректна (имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных). Петровский распространил это понятие на системы уравнений любого порядка, введя критерий, основанный на свойствах характеристического многочлена.

Система линейных уравнений с частными производными порядка \( m \) в области \( \mathbb{R}^n \) называется гиперболической по Петровскому, если для любого вещественного вектора \( \xi \) (кроме нулевого) все корни \( \lambda \) характеристического уравнения \( \det P(\lambda, \xi) = 0 \) (где \( P \) — матричный символ системы) вещественны и различны, а также выполнено условие корректности задачи Коши. Это условие гарантирует, что решения системы распространяются с конечной скоростью, что характерно для волновых процессов.

Формулировка

Пусть дана система \( m \) уравнений с \( m \) неизвестными функциями \( u(x, t) \), где \( t \) — время, \( x \in \mathbb{R}^n \). Система имеет вид: \[ \frac{\partial^m u}{\partial t^m} + \sum_{|\alpha| \le m, \alpha_0 < m} A_\alpha \frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial t^{\alpha_0} \partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_n^{\alpha_n}} = 0, \] где \( A_\alpha \) — постоянные матрицы. Характеристическое уравнение получается заменой \( \partial/\partial t \to \lambda \), \( \partial/\partial x_i \to i\xi_i \): \[ \det \left( \lambda^m I + \sum_{|\alpha| \le m, \alpha_0 < m} A_\alpha \lambda^{\alpha_0} (i\xi)^{\alpha'} \right) = 0. \] Теорема Петровского утверждает: если для всех вещественных \( \xi \neq 0 \) все корни \( \lambda \) этого уравнения вещественны и различны, то система является гиперболической, и задача Коши с начальными данными, заданными на гиперплоскости \( t = 0 \), имеет единственное решение, гладко зависящее от начальных условий.

Значение

Теорема Петровского о гиперболичности стала основой для классификации систем дифференциальных уравнений в математической физике. Она позволила строго определить, какие системы описывают волновые процессы (например, уравнения Максвелла в электродинамике, уравнения теории упругости), и обеспечила математическую корректность постановки задач Коши для таких систем. Впоследствии это понятие было расширено на нелинейные системы и системы с переменными коэффициентами.

Теорема Петровского о числе перемен знака

Формулировка

Вторая теорема Петровского касается решений параболических уравнений, таких как уравнение теплопроводности. Для линейного параболического уравнения второго порядка: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^n b_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + c(x,t) u, \] где \( a_{ij} \) — положительно определённая матрица, Петровский доказал следующее: если начальное условие \( u(x,0) = \varphi(x) \) имеет конечное число перемен знака (т.е. конечное число раз меняет знак на вещественной оси), то при \( t > 0 \) решение \( u(x,t) \) также имеет конечное число перемен знака, и это число не возрастает со временем. Более того, для одномерного случая (\( n=1 \)) число перемен знака решения не может превышать числа перемен знака начального условия.

Следствия

Эта теорема имеет важные физические интерпретации. В частности, для уравнения теплопроводности она означает, что количество «узлов» (точек, где решение обращается в ноль) в процессе диффузии тепла не увеличивается. Это свойство используется при анализе устойчивости решений и в теории вероятностей (например, в связи с процессами диффузии). Также теорема обобщается на параболические системы и уравнения высших порядков.

Доказательство

Доказательство Петровского основано на применении принципа максимума для параболических уравнений и оценках производных решения. Он показал, что если бы число перемен знака увеличилось, то это привело бы к противоречию с гладкостью решения и принципом максимума. Впоследствии были найдены более простые доказательства, использующие теорию тепловых потенциалов.

Применение

В математической физике

Обе теоремы Петровского находят применение при решении задач гидродинамики (например, уравнения Навье — Стокса в упрощённых моделях), теории упругости (распространение волн в упругих средах) и квантовой механике (уравнение Шрёдингера, которое является параболическим по типу). Теорема о гиперболичности позволяет корректно ставить начальные условия для волновых уравнений, а теорема о числе перемен знака — анализировать качественное поведение решений параболических уравнений.

В численных методах

При численном моделировании гиперболических систем (например, в газовой динамике) теорема Петровского гарантирует, что разностные схемы, аппроксимирующие задачу Коши, будут устойчивыми, если выполнены условия гиперболичности. Для параболических уравнений теорема о числе перемен знака используется для оценки точности приближённых решений.

В теории вероятностей

Теорема Петровского о числе перемен знака связана с теорией случайных процессов, в частности, с процессами диффузии. Она объясняет, почему количество пересечений нуля траекторией диффузионного процесса не увеличивается со временем, что важно для анализа стохастических моделей.

Критика и обобщения

Критика

Теорема Петровского о гиперболичности имеет ограничения: она применима только к системам с постоянными коэффициентами и требует, чтобы все корни характеристического уравнения были вещественными и различными. В случае кратных корней (например, в системах с вырождением) задача Коши может быть некорректной, что было показано самим Петровским. Кроме того, теорема не охватывает нелинейные системы, для которых гиперболичность определяется иначе (например, через условие строгой гиперболичности по Лаксу).

Обобщения

Впоследствии теорема была обобщена на системы с переменными коэффициентами (работы Ларса Хёрмандера, 1960-е годы) и на нелинейные гиперболические системы (теория Питера Лакса). Теорема о числе перемен знака была расширена на параболические уравнения с разрывными коэффициентами и на системы уравнений, а также на случай краевых задач.

Интересные факты

• Иван Петровский был учеником Дмитрия Егорова и Николая Лузина, а среди его учеников — такие известные математики, как Ольга Ладыженская и Владимир Арнольд.
• Теорема Петровского о гиперболичности часто упоминается в учебниках по уравнениям математической физики как «критерий Петровского».
• В 1946 году за цикл работ по теории дифференциальных уравнений Петровский был удостоен Сталинской премии первой степени.
• Теорема о числе перемен знака имеет аналог для эллиптических уравнений (теорема о нулях решений), но для параболических уравнений она была доказана впервые.

Источники

• Петровский И. Г. «О задаче Коши для систем линейных уравнений с частными производными» // Успехи математических наук, 1937, вып. 2, с. 44–122.
• Петровский И. Г. «О некоторых свойствах решений параболических уравнений» // Доклады АН СССР, 1945, т. 47, № 3, с. 163–166.
• Петровский И. Г. «Лекции об уравнениях с частными производными». — М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.
• Ладыженская О. А. «Краевые задачи математической физики». — М.: Наука, 1973. — 408 с.
• Хёрмандер Л. «Линейные дифференциальные операторы с частными производными». — М.: Мир, 1965. — 380 с.