Теорема Штурма¶

Теорема Штурма — это фундаментальное утверждение в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, устанавливающее свойства осцилляции (колебаний) решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Теорема, названная в честь французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма, описывает, как расположение нулей (точек, где решение обращается в ноль) одного решения связано с расположением нулей другого решения того же уравнения, а также как изменение параметров уравнения влияет на частоту колебаний решений. Теорема Штурма является ключевым инструментом в спектральной теории, квантовой механике, теории упругости и других областях, где возникают краевые задачи.

¶Формулировка теоремы

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка в нормальной форме:

\[ y''(x) + q(x) y(x) = 0, \]

где \( q(x) \) — непрерывная функция на интервале \( (a, b) \). Теорема Штурма состоит из двух основных частей: теоремы сравнения и теоремы разделения.

¶Теорема сравнения Штурма

Пусть даны два уравнения:

\[ y'' + q_1(x) y = 0 \quad \text{и} \quad y'' + q_2(x) y = 0, \]

где \( q_1(x) \) и \( q_2(x) \) — непрерывные функции, причем \( q_1(x) \le q_2(x) \) для всех \( x \in (a, b) \). Пусть \( y_1(x) \) — нетривиальное решение первого уравнения, а \( y_2(x) \) — нетривиальное решение второго. Тогда между любыми двумя последовательными нулями функции \( y_1(x) \) на интервале \( (a, b) \) содержится хотя бы один нуль функции \( y_2(x) \).

Иными словами, если коэффициент \( q(x) \) в уравнении увеличивается, то решения начинают колебаться чаще — расстояние между нулями уменьшается.

¶Теорема разделения Штурма

Пусть \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) — два линейно независимых решения одного и того же уравнения:

\[ y'' + q(x) y = 0. \]

Тогда нули этих решений строго чередуются: между любыми двумя последовательными нулями \( y_1(x) \) находится ровно один нуль \( y_2(x) \), и наоборот.

Это свойство является следствием линейной независимости и вронскиана, который для таких решений не обращается в ноль.

¶История

Теорема была сформулирована и доказана Жаком Штурмом в 1836 году в его работе «Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre» (Мемуар о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка). Штурм, занимавшийся также теорией теплопроводности и акустикой, заметил, что колебания струны или стержня описываются уравнениями, решения которых обладают строгими закономерностями в расположении узлов (нулей). Вместе с Жозефом Лиувиллем он разработал теорию краевых задач, известную как задача Штурма — Лиувилля, где теорема Штурма играет центральную роль.

¶Доказательство (основная идея)

Доказательство теоремы сравнения основывается на анализе вронскиана двух решений и применении леммы о монотонности. Пусть \( y_1 \) и \( y_2 \) — решения соответствующих уравнений. Рассмотрим функцию \( W(x) = y_1 y_2' - y_1' y_2 \). Её производная равна:

\[ W' = y_1 y_2'' - y_1'' y_2 = y_1(-q_2 y_2) - (-q_1 y_1) y_2 = (q_1 - q_2) y_1 y_2. \]

Если \( q_1 \le q_2 \), то знак \( W' \) противоположен знаку произведения \( y_1 y_2 \). Если между нулями \( y_1 \) произведение \( y_1 y_2 \) не меняет знак, то \( W \) будет монотонной функцией, что приводит к противоречию с тем, что в нулях \( y_1 \) вронскиан имеет определённый знак. Это противоречие доказывает, что \( y_2 \) обязательно должен иметь нуль между нулями \( y_1 \).

¶Применение

¶Спектральная теория (задача Штурма — Лиувилля)

Теорема Штурма является основой для анализа собственных функций и собственных значений в краевых задачах. Для уравнения:

\[ -(p(x) y')' + r(x) y = \lambda \rho(x) y, \]

где \( p(x) > 0 \), \( \rho(x) > 0 \), а \( \lambda \) — спектральный параметр, теорема Штурма утверждает, что:

Собственные значения \( \lambda_n \) образуют строго возрастающую последовательность, стремящуюся к бесконечности.
Собственная функция \( y_n(x) \), соответствующая \( \lambda_n \), имеет ровно \( n \) нулей на интервале \( (a, b) \) (при стандартных граничных условиях).
Нули собственных функций с разными номерами чередуются.

Это свойство используется при решении уравнений математической физики (уравнение Шрёдингера, уравнение теплопроводности, волновое уравнение).

¶Квантовая механика

В одномерном уравнении Шрёдингера:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x), \]

теорема Штурма объясняет, что число узлов (нулей) волновой функции \( \psi(x) \) возрастает с увеличением энергии \( E \). Основное состояние (наименьшая энергия) не имеет узлов, первое возбуждённое — один узел, и так далее. Это следует из того, что эффективный коэффициент \( q(x) = \frac{2m}{\hbar^2}(E - V(x)) \) увеличивается с ростом \( E \), что, согласно теореме сравнения, ведёт к более частым колебаниям.

¶Теория упругости и акустика

При изучении колебаний стержней, струн и мембран теорема Штурма позволяет предсказывать расположение узловых точек (точек, остающихся неподвижными при колебаниях). Например, для закреплённой струны длины \( L \) собственная форма колебаний с номером \( n \) имеет ровно \( n-1 \) внутренний узел.

¶Обыкновенные дифференциальные уравнения

Теорема Штурма используется для оценки расстояния между нулями решений. Если \( q(x) \ge m > 0 \), то расстояние между последовательными нулями любого решения не превосходит \( \pi / \sqrt{m} \). Если \( q(x) \le M \), то расстояние не меньше \( \pi / \sqrt{M} \). Это позволяет получать априорные оценки для решений.

¶Обобщения

¶Теорема Штурма — Пиконе

Обобщение на случай нелинейных уравнений второго порядка. Для уравнения:

\[ y'' + f(x, y) = 0, \]

где \( f(x, y) \) удовлетворяет определённым условиям монотонности по \( y \), сохраняется свойство чередования нулей решений.

¶Теорема Штурма для систем

Существуют обобщения на системы дифференциальных уравнений, например, на уравнения вида:

\[ y'' + Q(x) y = 0, \]

где \( Q(x) \) — симметричная матрица. В этом случае нули заменяются на «точки поворота» или «осцилляционные свойства» вектор-функций.

¶Примеры

¶Пример 1: Уравнение гармонического осциллятора

Рассмотрим уравнение \( y'' + \lambda y = 0 \) с постоянным коэффициентом \( q(x) = \lambda \). Решениями являются \( y = \sin(\sqrt{\lambda} x) \) и \( y = \cos(\sqrt{\lambda} x) \). Нули синуса находятся в точках \( x_k = \pi k / \sqrt{\lambda} \), нули косинуса — в точках \( x_k = \pi (k+1/2) / \sqrt{\lambda} \). Видно, что нули строго чередуются. При увеличении \( \lambda \) расстояние между нулями уменьшается, что согласуется с теоремой сравнения.

¶Пример 2: Уравнение Бесселя

Уравнение Бесселя:

\[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \]

после замены \( y = u / \sqrt{x} \) приводится к виду \( u'' + (1 - (\nu^2 - 1/4)/x^2) u = 0 \). Для больших \( x \) коэффициент \( q(x) \) близок к 1, и нули функций Бесселя \( J_\nu(x) \) ведут себя примерно как нули синуса, что подтверждается теоремой Штурма.

¶Критика и ограничения

Теорема Штурма применима только к линейным уравнениям второго порядка в нормальной форме. Для уравнений с переменными коэффициентами, имеющими разрывы или особенности, требуется осторожное применение. Также теорема не даёт точного расположения нулей, а лишь качественную информацию о их чередовании. В случае кратных нулей (когда решение и его производная одновременно обращаются в ноль) теорема может не выполняться, но такие решения обычно тривиальны.

¶Интересные факты

Жак Штурм сформулировал теорему в возрасте 33 лет, работая над проблемой распространения тепла в стержнях.
Теорема Штурма является одним из ранних примеров использования качественной теории дифференциальных уравнений, которая изучает поведение решений без их явного нахождения.
В современной математике теорема Штурма обобщена на случай дифференциальных уравнений на графах и сетях, где она используется для анализа спектральных свойств квантовых графов.

¶Источники

Штурм Ж. «Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre» (1836).
Коддингтон Э. А., Левинсон Н. «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» (1955).
Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Уравнения математической физики» (1977).
Хартман Ф. «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1964).
Вальтер В. «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1998).