Задача Штурма — Лиувилля¶

Задача Штурма — Лиувилля — это краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащая параметр, при котором существуют нетривиальные (ненулевые) решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям. Относится к классу задач на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. Является фундаментальным понятием в математической физике, спектральной теории и теории дифференциальных уравнений.

¶История

Задача названа в честь французских математиков Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882). В 1830-х годах они совместно опубликовали серию работ, посвящённых изучению решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с параметром. Штурм, занимавшийся вопросами теплопроводности и колебаний, предложил постановку задачи, а Лиувилль разработал методы её анализа, включая теорию собственных функций и разложений по ним. Их результаты стали основой для последующего развития спектральной теории дифференциальных операторов, получившей завершение в работах Давида Гильберта и Германа Вейля в начале XX века.

¶Математическая формулировка

¶Уравнение

Задача Штурма — Лиувилля формулируется на отрезке \([a, b]\) вещественной оси. Рассматривается дифференциальное уравнение вида:

\[ \frac{d}{dx}\left(p(x) \frac{dy}{dx}\right) + q(x) y + \lambda w(x) y = 0, \]

где:

\(x\) — независимая переменная,
\(y(x)\) — искомая функция,
\(p(x)\) — непрерывно дифференцируемая, положительная функция на \([a, b]\),
\(q(x)\) — непрерывная функция,
\(w(x)\) — весовая функция, положительная и непрерывная на \([a, b]\),
\(\lambda\) — числовой параметр (собственное значение).

Уравнение часто записывают в операторной форме: \(L y = \lambda w y\), где \(L\) — дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля:

\[ L y = -\frac{d}{dx}\left(p(x) \frac{dy}{dx}\right) - q(x) y. \]

¶Граничные условия

Для получения нетривиальных решений на концах отрезка задаются однородные граничные условия. Наиболее распространённые типы:

Условия Дирихле: \(y(a) = 0\), \(y(b) = 0\).
Условия Неймана: \(y'(a) = 0\), \(y'(b) = 0\).
Смешанные (третьего рода): \(\alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = 0\), \(\alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0\), где \(\alpha_i, \beta_i\) — заданные константы, не равные одновременно нулю.
Периодические условия: \(y(a) = y(b)\), \(y'(a) = y'(b)\) (для случая \(p(a) = p(b)\)).

¶Собственные значения и собственные функции

Значения \(\lambda\), при которых существует нетривиальное решение \(y(x)\), называются собственными значениями задачи. Соответствующие им решения — собственными функциями. Совокупность собственных значений образует спектр оператора.

¶Основные свойства

¶Дискретность спектра

Для регулярной задачи Штурма — Лиувилля (когда \(p(x) > 0\), \(w(x) > 0\) на замкнутом отрезке \([a, b]\)) спектр состоит из счётного множества вещественных собственных значений \(\lambda_1 < \lambda_2 < \dots < \lambda_n < \dots\), стремящихся к \(+\infty\). Каждому собственному значению соответствует единственная (с точностью до постоянного множителя) собственная функция.

¶Ортогональность собственных функций

Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на отрезке \([a, b]\) с весом \(w(x)\):

\[ \int_a^b y_n(x) y_m(x) w(x) \, dx = 0, \quad n \neq m. \]

Это свойство является ключевым для разложения произвольных функций в ряды по собственным функциям.

¶Вещественность собственных значений

При условии вещественности функций \(p(x)\), \(q(x)\) и \(w(x)\) все собственные значения задачи Штурма — Лиувилля являются вещественными. Это следует из самосопряжённости оператора \(L\) в гильбертовом пространстве с весом \(w(x)\).

¶Отсутствие кратных собственных значений

В регулярном случае (при стандартных граничных условиях) каждое собственное значение является простым, то есть ему соответствует ровно одна линейно независимая собственная функция. Исключение составляют периодические граничные условия, где возможно двукратное вырождение.

¶Классификация

¶Регулярная задача

Определяется на конечном отрезке \([a, b]\) с условиями, что \(p(x) > 0\) и \(w(x) > 0\) на всём отрезке, а функции \(p\), \(q\), \(w\) непрерывны. Все перечисленные выше свойства выполняются.

¶Сингулярная задача

Возникает, когда отрезок бесконечен (например, \([0, \infty)\) или \((-\infty, \infty)\)) или когда функции \(p(x)\) или \(w(x)\) обращаются в нуль или имеют особенности на концах отрезка. Примеры — уравнение Бесселя, уравнение Лежандра, уравнение Эрмита. В сингулярном случае спектр может быть непрерывным, смешанным или дискретным, а собственные функции могут быть неинтегрируемыми в квадрате. Теория сингулярных задач была развита Германом Вейлем.

¶Задача с периодическими граничными условиями

Частный случай, при котором собственные значения могут быть двукратными. Возникает при изучении уравнения Матьё и других задач с периодическими коэффициентами.

¶Применение

¶Математическая физика

Задача Штурма — Лиувилля является основой для решения краевых задач для уравнений в частных производных методом разделения переменных (метод Фурье). Например, уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Лапласа сводятся к задаче Штурма — Лиувилля для пространственной части.

¶Квантовая механика

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний в одномерном случае является уравнением Штурма — Лиувилля. Собственные значения соответствуют уровням энергии, а собственные функции — волновым функциям. Примеры: гармонический осциллятор, частица в потенциальной яме, атом водорода (в радиальной части).

¶Теория колебаний

Собственные частоты колебаний струны, стержня, мембраны находятся как собственные значения соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Формы колебаний описываются собственными функциями.

¶Спектральная теория операторов

Задача Штурма — Лиувилля служит простейшей моделью для изучения спектра самосопряжённых дифференциальных операторов. На её основе развиты методы теории возмущений, асимптотические оценки распределения собственных значений (формула Вейля).

¶Численные методы

Для приближённого нахождения собственных значений и функций используются метод стрельбы, метод конечных разностей, метод Галёркина, а также вариационные методы (например, метод Рэлея — Ритца).

¶Примеры

¶Простейший случай: \(y'' + \lambda y = 0\) с условиями Дирихле

Уравнение: \(y'' + \lambda y = 0\) на отрезке \([0, L]\) с граничными условиями \(y(0) = 0\), \(y(L) = 0\). Здесь \(p(x) = 1\), \(q(x) = 0\), \(w(x) = 1\). Собственные значения: \(\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{L}\right)^2\), \(n = 1, 2, \dots\). Собственные функции: \(y_n(x) = \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)\). Они ортогональны на \([0, L]\) с весом 1.

¶Уравнение Бесселя

Сингулярная задача: \(x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0\) на отрезке \([0, a]\) с граничным условием \(y(a) = 0\). Собственные значения определяются корнями функции Бесселя \(J_\nu(\sqrt{\lambda} a) = 0\). Собственные функции — \(J_\nu(\sqrt{\lambda_n} x)\).

¶Интересные факты

Теорема Штурма о сравнении утверждает, что если коэффициенты одного уравнения Штурма — Лиувилля больше, чем у другого, то нули решений первого расположены чаще.
В 1910 году Герман Вейль обобщил теорию на сингулярные задачи, введя понятие предельной точки и предельного круга.
Асимптотическое распределение собственных значений для регулярной задачи описывается формулой Вейля: \(\lambda_n \sim \frac{\pi^2 n^2}{(b-a)^2} \int_a^b \sqrt{\frac{w(x)}{p(x)}} dx\) при \(n \to \infty\).

¶Источники

Штурм Ж., Лиувилль Ж. «Мемуары о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка» (1836–1837).
Тихонов А. Н., Самарский А. А. «Уравнения математической физики» (1977).
Наймарк М. А. «Линейные дифференциальные операторы» (1969).
Коддингтон Э. А., Левинсон Н. «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» (1958).
Вейль Г. «Обыкновенные дифференциальные уравнения с сингулярными точками» (1910).