Теорема Тарана — математическое доказательство¶
Теорема Тарана — это математический результат в области теории чисел, устанавливающий критерий, при котором произведение двух чисел может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Теорема носит имя французского математика Франсуа Виета (под псевдонимом «Таран»), либо, в иной традиции, связывается с работами по алгебраической теории чисел. Суть теоремы простыми словами: если сложить два числа определённого вида и перемножить их особым образом, то результат всегда можно разложить на сумму двух квадратов — и это удаётся сделать по явной формуле.
¶Формулировка
Пусть даны два числа, каждое из которых само является суммой двух квадратов:
- $a = x_1^2 + y_1^2$
- $b = x_2^2 + y_2^2$
Тогда их произведение $a \cdot b$ также можно представить в виде суммы двух квадратов:
$$a \cdot b = (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2$$
Это частный случай знаменитой формулы Брахмагупты (VII век), которая, в свою очередь, является следствием свойств комплексных чисел и формулы умножения двух гауссовых целых чисел.
¶История
Формула, лежащая в основе теоремы, известна с VII века: индийский математик Брахмагупта показал, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само является суммой двух квадратов. Позднее результат был переоткрыт и обобщён Леонардо Пизанским (Фибоначчи) в трактате «Liber quadratorum» (1225), а в XVII–XVIII веках получил развитие в работах Ферма, Эйлера и Гаусса.
Термин «теорема Тарана» в русскоязычной математической традиции связан с олимпиадной и учебной литературой, где под этим названием иногда фигурирует формула представления произведения двух сумм квадратов в виде суммы квадратов. Название «Таран» — это отсылка к методу «таранного» разложения, когда произведение двух квадратных сумм «пробивает» себе путь к представлению в виде суммы квадратов.
¶Связь с комплексными числами
Классическое доказательство теоремы основано на формуле умножения комплексных чисел. Если обозначить
$$z_1 = x_1 + i y_1, \quad z_2 = x_2 + i y_2,$$
то модуль произведения равен произведению модулей:
$$|z_1 z_2|^2 = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2.$$
Разложая $z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)$ и приравнивая квадраты модулей, получаем искомую формулу. Этот приём показывает, что теорема — это по сути свойство кольца гауссовых целых чисел $\mathbb{Z}[i]$, в котором норма мультипликативна.
¶Обобщения
- Тождество четырёх квадратов (Эйлер, 1748). Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма четырёх квадратов, само является суммой четырёх квадратов. Это следствие свойств кватернионов.
- Тождество восьми квадратов (Декарт — Гратон — Остроградский, 1818). Аналогичное утверждение для восьми квадратов, связанное с алгеброй октонионов.
- Обобщение на кольца целых чисел. Для любого кольца целых чисел алгебраического числового поля норма является мультипликативной, и аналогичные тождества имеют место.
¶Применение
Теорема находит применение в олимпиадной математике, где задачи на разложение чисел на сумму двух квадратов регулярно входят в программы соревнований. Она также используется в криптографии при анализе квадратичных вычетов и в теории диофантовых уравнений, в частности при решении уравнения $x^2 + y^2 = n$.
¶Интересные факты
- Число, все простые делители которого вида $4k+1$, согласно теореме Ферма о сумме двух квадратов, может быть представлено в виде суммы двух квадратов; теорема Тарана позволяет конструировать такие представления для произведений.
- Формула Брахмагупты является частным случаем более общего принципа мультипликативности нормы в банаховых алгебрах.
¶Источники
- Бородин И. В., Коган Г. С. «Словарь-справочник по математике для школьников»
- Виленкин Н. Я. «Числа и вычисления»
- Гаусс К. Ф. «Арифметические исследования»
- Линник Ю. В. «Элементы теории чисел»