Теорема Жуковского¶

Теорема Жуковского — это фундаментальное положение гидроаэродинамики, устанавливающее связь между подъёмной силой, действующей на тело, обтекаемое потоком жидкости или газа, и циркуляцией скорости вокруг этого тела. Сформулирована русским учёным Николаем Егоровичем Жуковским в 1904 году. Теорема лежит в основе современной теории крыла и лопастей винтов, позволяя рассчитывать аэродинамические характеристики летательных аппаратов, корабельных винтов, турбин и других устройств.

¶История

¶Предпосылки открытия

К началу XX века развитие авиации требовало теоретического обоснования возникновения подъёмной силы крыла. Существовавшие модели, основанные на теории Ньютона (ударная теория) или на уравнении Бернулли, не давали точных количественных результатов и не объясняли, почему плоская пластина под углом атаки создаёт подъёмную силу, значительно превышающую предсказания ньютоновской механики. Эксперименты показывали, что обтекание крыла происходит с образованием циркуляционного движения воздуха вокруг профиля.

¶Формулировка Жуковского

Николай Егорович Жуковский, профессор Московского университета и Московского технического училища, в 1904 году опубликовал работу «О присоединённых вихрях», в которой впервые математически строго доказал, что подъёмная сила пропорциональна произведению плотности среды, скорости потока и циркуляции скорости. В 1906 году он представил окончательную формулировку теоремы на заседании Московского математического общества. Параллельно аналогичные результаты получил немецкий учёный Мартин Вильгельм Кутта (1902), поэтому в западной литературе теорему часто называют теоремой Кутты — Жуковского.

¶Развитие и признание

Теорема стала основой вихревой теории крыла, разработанной Жуковским и его учениками (в частности, Сергеем Алексеевичем Чаплыгиным). В 1910-х годах теорема была экспериментально подтверждена в аэродинамических трубах. В СССР и России она вошла в обязательный курс аэродинамики для авиационных вузов. В 1947 году, к 100-летию со дня рождения Жуковского, теорема была признана одним из величайших достижений мировой науки в области механики жидкости и газа.

¶Формулировка и математическая запись

¶Основное уравнение

Теорема Жуковского утверждает: подъёмная сила \( Y \), действующая на единицу длины цилиндрического тела (или крыла бесконечного размаха), обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, равна:

\[ Y = \rho \, V \, \Gamma \]

где:

• \( \rho \) — плотность жидкости (или газа);
• \( V \) — скорость набегающего потока (скорость тела относительно среды);
• \( \Gamma \) — циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему тело.

¶Направление силы

Подъёмная сила направлена перпендикулярно скорости набегающего потока. Направление определяется правилом: если вектор скорости потока повернуть на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции, то получится направление подъёмной силы. Для крыла самолёта циркуляция направлена по часовой стрелке (если смотреть с торца крыла), что создаёт силу, направленную вверх.

¶Условия применимости

Теорема строго справедлива для:

• идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости;
• установившегося (стационарного) обтекания;
• тела с острыми кромками (например, крыла с острой задней кромкой);
• бесконечного размаха крыла (двумерная задача).

Для реальных жидкостей и газов (с вязкостью) и трёхмерных тел теорема даёт приближение, которое корректируется с помощью эмпирических коэффициентов.

¶Физический смысл

¶Связь с циркуляцией

Циркуляция \( \Gamma \) возникает из-за несимметричного обтекания профиля. При обтекании крыла с положительным углом атаки скорость потока над верхней поверхностью выше, чем под нижней (согласно уравнению Бернулли, это приводит к разности давлений). Однако для возникновения циркуляции необходимо, чтобы поток сходил с задней кромки плавно — это условие Кутты — Жуковского. Оно обеспечивает, что скорость на задней кромке конечна, а циркуляция принимает такое значение, при котором задняя кромка является точкой схода потока.

¶Присоединённый вихрь

Жуковский ввёл понятие «присоединённого вихря» — вихря, который неразрывно связан с крылом и движется вместе с ним. Циркуляция этого вихря и определяет подъёмную силу. В трёхмерном случае присоединённый вихрь переходит в свободные концевые вихри, которые сходят с законцовок крыла и образуют вихревые жгуты.

¶Применение

¶Авиация

Теорема является основой для расчёта подъёмной силы крыла самолёта, вертолёта (несущий винт), планера. На её базе разработаны методы профилирования крыльев, выбора углов атаки, расчёта взлётно-посадочных характеристик. Без теоремы Жуковского невозможно проектирование современных летательных аппаратов.

¶Судостроение

Применяется для расчёта гребных винтов кораблей и подводных лодок. Каждая лопасть винта работает как крыло, создавая силу тяги. Теорема позволяет оптимизировать форму лопастей для максимального КПД.

¶Энергетика

Ветроэнергетические установки (ветрогенераторы) используют лопасти, профиль которых рассчитан по теореме Жуковского. Аналогично — лопасти паровых и газовых турбин, компрессоров.

¶Спорт

Теорема объясняет эффект «кручёного мяча» в футболе, теннисе, бейсболе (эффект Магнуса). Вращение мяча создаёт циркуляцию воздуха вокруг него, что приводит к появлению боковой силы, искривляющей траекторию.

¶Ограничения и критика

¶Идеальная жидкость

Теорема не учитывает вязкость, что приводит к расхождению с экспериментом для тел с тупой задней кромкой или при больших углах атаки (срыв потока). В реальных расчётах используются поправочные коэффициенты, полученные из продувок в аэродинамических трубах.

¶Двумерность

Для крыла конечного размаха подъёмная сила меньше, чем предсказывает теорема, из-за концевых эффектов (перетекание воздуха с нижней поверхности на верхнюю через законцовки). Это учитывается введением понятия «эффективное удлинение крыла».

¶Сжимаемость

При скоростях, близких к скорости звука (трансзвуковой и сверхзвуковой режимы), теорема неприменима, так как сжимаемость газа существенно меняет картину обтекания. Для таких случаев разработаны другие модели (теория тонкого профиля, теория ударных волн).

¶Интересные факты

• Жуковский вывел теорему, анализируя обтекание кругового цилиндра с циркуляцией, а затем с помощью конформного отображения перенёс результат на профиль крыла.
• В честь теоремы назван аэродинамический профиль — профиль Жуковского, который имеет характерную форму с острым носком и задней кромкой.
• В 1912 году, через два года после смерти Жуковского, его ученик Владимир Петрович Ветчинкин экспериментально подтвердил теорему в аэродинамической трубе Московского университета.
• Теорема Жуковского является частным случаем более общей теоремы о подъёмной силе, которая может быть выведена из интеграла Бернулли и уравнения импульсов.

¶Источники

• Жуковский Н. Е. О присоединённых вихрях // Полное собрание сочинений. Т. 5. — М.: ОНТИ, 1937.
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978.
• Краснов Н. Ф. Аэродинамика. Ч. 1. — М.: Высшая школа, 1976.
• Голубев В. В. Лекции по теории крыла. — М.: Гостехиздат, 1949.