Теория когомологий Вейля

Теория когомологий Вейля — это аксиоматическая теория, задающая набор формальных свойств, которым должна удовлетворять «хорошая» теория когомологий для алгебраических многообразий над произвольным полем. Она была введена французским математиком Андре Вейлем в 1940-х годах в рамках его работы над гипотезами Вейля, которые связывают топологические свойства алгебраических многообразий с их арифметическими свойствами. Теория когомологий Вейля не является единой конкретной конструкцией, а представляет собой систему аксиом, позволяющую единообразно описывать различные когомологические теории, такие как классические когомологии Бетти (для многообразий над полем комплексных чисел), когомологии де Рама, этальные когомологии, кристаллические когомологии и другие.

История возникновения

Предпосылки: гипотезы Вейля

В конце 1940-х годов Андре Вейль сформулировал серию гипотез о дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. Эти гипотезы, ныне известные как гипотезы Вейля, предсказывали, что дзета-функция многообразия является рациональной функцией, удовлетворяет функциональному уравнению и имеет нули и полюса, расположенные на определённых комплексных прямых (аналог гипотезы Римана). Для доказательства этих гипотез требовалась топологическая теория, которая работала бы для многообразий над полями положительной характеристики, где классические методы (например, когомологии с целыми коэффициентами) неприменимы из-за отсутствия хорошей топологии.

Формулировка аксиом

Вейль предложил искать теорию когомологий, которая для алгебраического многообразия над произвольным полем \(k\) сопоставляла бы градуированное кольцо \(H^*(X)\) с коэффициентами в некотором поле \(F\) характеристики 0 (обычно \(F = \mathbb{Q}_l\) или \(F = \mathbb{R}\)). Он сформулировал набор аксиом, которым должна удовлетворять такая теория, чтобы её можно было использовать для доказательства гипотез. Эти аксиомы включали:

• Функториальность: когомологии являются контравариантным функтором из категории гладких проективных многообразий в категорию градуированных \(F\)-алгебр.
• Конечномерность: для каждого многообразия \(X\) векторные пространства \(H^i(X)\) конечномерны над \(F\).
• Когомологии проективного пространства: \(H^*(\mathbb{P}^n) \cong F[t]/(t^{n+1})\), где \(t\) — класс когомологий степени 2.
• Двойственность Пуанкаре: существует невырожденная билинейная форма спаривания \(H^i(X) \otimes H^{2n-i}(X) \to F\), где \(n = \dim X\).
• Формула Кюннета: для произведения многообразий \(X \times Y\) когомологии изоморфны тензорному произведению когомологий сомножителей.
• Теория классов циклов: каждому алгебраическому циклу коразмерности \(r\) сопоставляется класс когомологий в \(H^{2r}(X)\).
• Формула Лефшеца: для эндоморфизма многообразия число неподвижных точек (с учётом кратностей) выражается через следы его действия на когомологиях.

Эти аксиомы, известные как аксиомы Вейля, определили понятие теории когомологий Вейля.

Основные аксиомы и их значение

Аксиома функториальности

Для любого морфизма \(f: X \to Y\) гладких проективных многообразий определён гомоморфизм колец \(f^: H^(Y) \to H^(X)\), причём \((g \circ f)^ = f^ \circ g^\). Это позволяет изучать, как топологические инварианты меняются при отображениях.

Аксиома двойственности Пуанкаре

Для многообразия \(X\) размерности \(n\) существует невырожденное спаривание: \[ H^i(X) \otimes H^{2n-i}(X) \to F, \] что является аналогом классической двойственности Пуанкаре для компактных ориентированных многообразий. Это спаривание позволяет определять классы когомологий, двойственные к циклам.

Аксиома классов циклов

Существует гомоморфизм из группы алгебраических циклов (с точностью до рациональной эквивалентности) в когомологии: \[ \mathrm{cl}: Z^r(X) \to H^{2r}(X), \] где \(Z^r(X)\) — группа циклов коразмерности \(r\). Этот гомоморфизм называется гомоморфизмом классов циклов. Он должен быть мультипликативным относительно пересечения циклов: \(\mathrm{cl}(Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{cl}(Z_1) \cup \mathrm{cl}(Z_2)\).

Аксиома формулы Лефшеца

Для эндоморфизма \(f: X \to X\) число неподвижных точек (с учётом кратностей) равно: \[ \Lambda(f) = \sum_{i=0}^{2n} (-1)^i \operatorname{Tr}(f^*|_{H^i(X)}), \] где \(\operatorname{Tr}\) — след линейного оператора. Это обобщает классическую формулу Лефшеца из топологии.

Примеры теорий когомологий Вейля

Когомологии Бетти (над \(\mathbb{C}\))

Для комплексных алгебраических многообразий классические когомологии Бетти с коэффициентами в \(\mathbb{Q}\) или \(\mathbb{R}\) удовлетворяют всем аксиомам Вейля. Они являются эталоном, на который ориентировались при формулировке аксиом.

Этальные когомологии

Наиболее важная для доказательства гипотез Вейля теория, разработанная Александром Гротендиком и его школой в 1960-х годах. Этальные когомологии с коэффициентами в \(\mathbb{Q}_l\) (где \(l\) — простое число, не равное характеристике основного поля) удовлетворяют всем аксиомам Вейля. Именно они позволили Бернару Дворку, Михаилу Артину, Жану-Пьеру Серру и Пьеру Делиню доказать гипотезы Вейля.

Когомологии де Рама

Для многообразий над полем характеристики 0 (например, над \(\mathbb{Q}\) или \(\mathbb{C}\)) алгебраические когомологии де Рама, определённые через дифференциальные формы, также образуют теорию когомологий Вейля. Они не работают в положительной характеристике, но важны для сравнения с этальными когомологиями.

Когомологии Ходжа

Для комплексных многообразий когомологии Ходжа (с разложением на \((p,q)\)-компоненты) также удовлетворяют аксиомам, но с дополнительной структурой — поляризацией, что важно для изучения циклов.

Кристаллические когомологии

Разработанные Гротендиком и Пьером Бертело, кристаллические когомологии работают для многообразий над полями положительной характеристики и дают теорию когомологий Вейля с коэффициентами в кольце векторов Витта (характеристики 0). Они также используются для доказательства гипотез Вейля.

Применение и значение

Доказательство гипотез Вейля

Основное применение теории когомологий Вейля — доказательство гипотез Вейля. Используя этальные когомологии, Пьер Делинь в 1973 году завершил доказательство всех четырёх гипотез Вейля, включая аналог гипотезы Римана для конечных полей. Это стало одним из величайших достижений математики XX века.

Теория мотивов

Теория когомологий Вейля является основой для построения теории мотивов — гипотетической универсальной теории когомологий, которая должна «объяснять» все известные теории когомологий Вейля. Мотивы, введённые Гротендиком, представляют собой «универсальные» алгебраические циклы, из которых все когомологические инварианты получаются путём применения функтора реализации.

Арифметическая геометрия

Теория когомологий Вейля используется для изучения арифметических свойств алгебраических многообразий, включая подсчёт числа точек над конечными полями, изучение L-функций и доказательство гипотезы Тейта о циклах.

Критика и ограничения

Неединственность

Теорий когомологий Вейля существует много, и они не эквивалентны между собой. Например, этальные и кристаллические когомологии дают разные кольца для одного и того же многообразия. Это ограничивает их универсальность и требует дополнительных сравнений (например, через теорию сравнения).

Отсутствие целочисленных коэффициентов

Все известные теории когомологий Вейля используют коэффициенты в поле характеристики 0. Попытки построить теорию с целыми коэффициентами (например, \(H^*(X, \mathbb{Z})\)) наталкиваются на фундаментальные препятствия, связанные с кручением и отсутствием хорошей топологии.

Сложность конструкций

Конструкции этальных, кристаллических и других теорий когомологий Вейля технически сложны и требуют глубоких знаний алгебраической геометрии и теории схем. Это делает их недоступными для широкого круга математиков.

Интересные факты

• Андре Вейль сформулировал свои гипотезы в 1949 году, а полное доказательство было получено только в 1973 году. Сам Вейль не дожил до этого момента (он умер в 1998 году).
• Теория когомологий Вейля вдохновила создание теории мотивов, которая до сих пор остаётся одной из самых глубоких и нерешённых областей математики.
• В 1994 году Владимир Воеводский и Андрей Суслин разработали теорию мотивных когомологий, которая является универсальной теорией когомологий Вейля в рамках теории мотивов.

Источники

• Вейль А. «Основы теории чисел» (фрагменты о гипотезах Вейля).
• Делинь П. «Доказательство гипотез Вейля» (1973).
• Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия» (глава о когомологиях).
• Милн Дж. «Этальные когомологии» (учебник).
• Гротендик А. «О теории мотивов» (лекции).