Этальные когомологии¶

Этальные когомологии — это теория когомологий для схем и алгебраических многообразий, построенная Александром Гротендиком в 1960-х годах как часть программы «Когомологии в алгебраической геометрии». Она обобщает классические топологические когомологии (например, сингулярные когомологии) на случай алгебраических многообразий, определённых над полями, не являющимися полем комплексных чисел, и позволяет применять методы гомологической алгебры к задачам арифметической геометрии и теории чисел.

¶История

Идея создания этальных когомологий возникла из потребности решить проблему, сформулированную Андре Вейлем в 1949 году: гипотезы Вейля о дзета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями. Для их доказательства требовалась теория когомологий, которая бы работала для многообразий в положительной характеристике и обладала бы свойствами, аналогичными сингулярным когомологиям (например, двойственность Пуанкаре, формула Лефшеца). Существовавшие на тот момент когомологии де Рама и когомологии Чеха не подходили из-за отсутствия точных последовательностей и функториальности.

В 1958 году Гротендик начал разработку новой теории, основанной на понятии этального отображения — аналога локального гомеоморфизма в топологии. Он ввёл понятие этального топоса и определил когомологии как производные функторы от функтора сечений пучков на этальном сайте. Первые результаты были опубликованы в серии семинаров IHÉS (1960–1963), известных как «Семинар по геометрии алгебраической» (SGA). В 1964 году Гротендик совместно с Жан-Пьером Серром и Майклом Артином завершил построение теории, которая позволила доказать гипотезы Вейля (завершено Пьером Делинем в 1973 году).

¶Определение

¶Этальный сайт

Пусть \(X\) — схема. Этальный сайт \(X_{\text{ét}}\) — это категория, объектами которой являются этальные морфизмы \(U \to X\) (то есть плоские, локально конечного типа и неразветвлённые морфизмы), а морфизмами — коммутативные диаграммы над \(X\). Покрытиями в этой категории служат семейства этальных морфизмов \(\{U_i \to U\}\), такие что их объединение сюръективно на \(U\). Эта топология называется этальной топологией.

¶Пучки и когомологии

Пучок на этальном сайте — это контравариантный функтор \(F: X_{\text{ét}} \to \text{Ab}\) (в категорию абелевых групп), удовлетворяющий аксиомам склеивания для этальных покрытий. Функтор сечений \(\Gamma(X, \cdot)\) точен слева. Его правые производные функторы \(H^i_{\text{ét}}(X, F)\) называются этальными когомологиями схемы \(X\) с коэффициентами в пучке \(F\).

Для абелевых групп \(A\) часто рассматривают постоянный пучок \(\underline{A}\), определённый как \(U \mapsto A\) для связных \(U\). В этом случае когомологии обозначаются \(H^i_{\text{ét}}(X, A)\).

¶Свойства

Этальные когомологии обладают рядом свойств, аналогичных сингулярным когомологиям топологических пространств:

• Функториальность: для любого морфизма схем \(f: X \to Y\) индуцируются гомоморфизмы \(f^: H^i_{\text{ét}}(Y, F) \to H^i_{\text{ét}}(X, f^F)\).
• Точная последовательность пары: для замкнутой подсхемы \(Z \subset X\) и её дополнения \(U = X \setminus Z\) существует длинная точная последовательность когомологий с носителями.
• Двойственность Пуанкаре: для гладкого проективного многообразия размерности \(n\) над алгебраически замкнутым полем существует спаривание \(H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Q}_\ell) \times H^{2n-i}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to \mathbb{Q}_\ell\), невырожденное для \(\ell \neq \text{char}(k)\).
• Формула Лефшеца: для эндоморфизма \(f: X \to X\) число неподвижных точек (в подходящем смысле) выражается через следы на когомологиях.
• Сравнение с сингулярными когомологиями: если \(X\) — гладкое проективное многообразие над \(\mathbb{C}\), то \(H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong H^i_{\text{sing}}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) для любого \(n\), не делящегося на характеристику поля.

¶Классификация и виды

¶По коэффициентам

• Когомологии с конечными коэффициентами: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) — наиболее часто используемые, особенно в арифметической геометрии.
• ℓ-адические когомологии: для простого \(\ell\), отличного от характеристики поля, определяются как проективный предел \(H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})\) и обозначаются \(H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Q}_\ell)\). Они образуют \(\mathbb{Q}_\ell\)-векторные пространства и являются основным инструментом для гипотез Вейля.
• Когомологии с кручением: для пучков, имеющих кручение, например, пучков Милнора.

¶По типу схемы

• Для аффинных схем: когомологии могут быть вычислены через когомологии Чеха, но часто тривиальны для высших степеней (теорема Гротендика об исчезновении).
• Для проективных многообразий: когомологии конечномерны и удовлетворяют двойственности.
• Для схем над конечными полями: когомологии связаны с дзета-функцией через формулу следа Гротендика–Лефшеца.

¶Применение

¶Доказательство гипотез Вейля

Основное применение этальных когомологий — доказательство гипотез Вейля, выполненное Делинем в 1973 году. Для гладкого проективного многообразия \(X\) над конечным полем \(\mathbb{F}_q\) дзета-функция \(\zeta(X, s)\) выражается через характеристические полиномы эндоморфизма Фробениуса на ℓ-адических когомологиях:

\[ \zeta(X, s) = \prod_{i=0}^{2n} \det\left(1 - q^{-s} \text{Frob}^* \mid H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Q}_\ell)\right)^{(-1)^{i+1}}. \]

Это позволило доказать рациональность, функциональное уравнение и гипотезу Римана для дзета-функций многообразий над конечными полями.

¶Теория чисел

• Группы Галуа: этальные когомологии позволяют изучать представления группы Галуа поля, действующие на ℓ-адические когомологии многообразий. Это ключевой инструмент в программе Ленглендса.
• Когомологии Галуа: для поля \(K\) этальные когомологии \(\text{Spec}(K)\) совпадают с когомологиями Галуа группы \(\text{Gal}(\overline{K}/K)\).
• Гипотеза Тейта: о связи между циклами на многообразиях и инвариантами групп Галуа.

¶Алгебраическая геометрия

• Классы Чженя: определяются в этальных когомологиях, что позволяет строить теорию пересечений для многообразий в положительной характеристике.
• Теорема Римана–Роха: обобщается на случай схем с помощью этальных когомологий (теорема Гротендика–Римана–Роха).
• Мотивные когомологии: этальные когомологии являются частью более общей теории мотивов, предложенной Гротендиком.

¶Примеры

¶Вычисление для кривых

Для гладкой проективной кривой \(C\) рода \(g\) над алгебраически замкнутым полем \(k\) характеристики \(p\):

• \(H^0_{\text{ét}}(C, \mathbb{Q}_\ell) \cong \mathbb{Q}_\ell\),
• \(H^1_{\text{ét}}(C, \mathbb{Q}_\ell)\) — векторное пространство размерности \(2g\),
• \(H^2_{\text{ét}}(C, \mathbb{Q}_\ell) \cong \mathbb{Q}_\ell\).

Это соответствует сингулярным когомологиям комплексной римановой поверхности.

¶Для аффинной прямой

Для аффинной прямой \(\mathbb{A}^1_k\) над алгебраически замкнутым полем \(k\):

• \(H^0_{\text{ét}}(\mathbb{A}^1_k, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\),
• \(H^1_{\text{ét}}(\mathbb{A}^1_k, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong 0\) при \(n\), не делящемся на \(p\),
• \(H^2_{\text{ét}}(\mathbb{A}^1_k, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong 0\).

Это показывает, что этальные когомологии не всегда совпадают с топологическими: для \(\mathbb{C}\) сингулярные когомологии \(\mathbb{A}^1\) тривиальны, но этальные дают нетривиальные \(H^1\) в случае кручения, связанного с корнями из единицы.

¶Критика и ограничения

• Сложность вычислений: этальные когомологии требуют глубоких знаний теории схем и гомологической алгебры, что затрудняет их применение в прикладных задачах.
• Зависимость от простого числа \(\ell\): ℓ-адические когомологии зависят от выбора \(\ell\), что может приводить к неоднозначности при изучении мотивов. Существует гипотеза о независимости от \(\ell\), доказанная для абелевых многообразий и некоторых классов многообразий.
• Отсутствие прямого аналога сингулярных когомологий: для многообразий над полями характеристики \(p\) этальные когомологии не дают информации о топологии в обычном смысле, так как схема не является топологическим пространством в классическом понимании.
• Проблемы с кручением: в характеристике \(p\) когомологии с коэффициентами \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) ведут себя плохо (например, не удовлетворяют двойственности Пуанкаре), что требует использования кристаллических когомологий.

¶Интересные факты

• Термин «этальный» происходит от французского «étale», что означает «распростёртый» или «спокойный» (в контексте моря). Гротендик выбрал это слово для обозначения отображений, которые являются аналогами локальных гомеоморфизмов.
• Этальные когомологии стали основой для создания теории мотивов — гипотетической универсальной теории когомологий, объединяющей все известные теории (сингулярные, де Рама, ℓ-адические, кристаллические).
• В 2018 году за работы по этальным когомологиям и их приложениям к гипотезам Вейля Пьер Делинь получил Абелевскую премию.

¶Источники

• Grothendieck, A. (1960–1963). Séminaire de Géométrie Algébrique (SGA 4, 4½, 5). IHÉS.
• Deligne, P. (1974). La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43, 273–307.
• Milne, J. S. (1980). Étale Cohomology. Princeton University Press.
• Hartshorne, R. (1977). Algebraic Geometry. Springer.
• Mazur, B. (1973). Notes on étale cohomology. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver.