Теория множеств Цермело — Френкеля

Теория множеств Цермело — Френкеля (сокращённо ZF, от нем. Zermelo-Fraenkel) — это наиболее распространённая система аксиом для теории множеств, которая служит стандартным фундаментом для современной математики. Она была разработана в начале XX века немецкими математиками Эрнстом Цермело и Адольфом Френкелем с целью устранения парадоксов, возникших в наивной теории множеств Георга Кантора. Система ZF, дополненная аксиомой выбора, образует систему ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice), которая является де-факто основой большей части математических доказательств.

История возникновения

Парадоксы наивной теории множеств

К концу XIX века Георг Кантор разработал теорию множеств, основанную на интуитивном понятии «совокупности объектов». Однако в 1895—1903 годах были обнаружены логические противоречия, такие как парадокс Рассела (1901), парадокс Бурали-Форти и парадокс Кантора. Парадокс Рассела, в частности, показал, что множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, не может существовать, так как его определение приводит к противоречию: если оно содержит себя, то не должно содержать, и наоборот. Это поставило под сомнение непротиворечивость всей математики.

Работа Цермело (1908)

В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело опубликовал статью «Исследования об основах теории множеств» (нем. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre), в которой предложил первую аксиоматическую систему. Цермело стремился формализовать теорию множеств, ограничив возможности образования множеств аксиомами, чтобы избежать парадоксов. Его система включала семь аксиом, в том числе аксиому выделения (позже заменённую аксиомой подстановки) и аксиому выбора. Однако система Цермело не была полной: она не позволяла доказать существование некоторых важных множеств, например, ординальных чисел фон Неймана.

Уточнения Френкеля и Склема (1922)

В 1922 году Адольф Френкель и независимо от него Торальф Склем указали на недостатки системы Цермело. Они предложили добавить аксиому подстановки (схему аксиом подстановки), которая позволяет строить множества, заменяя элементы одного множества на другие объекты. Френкель также формализовал аксиому основания (регулярности), которая запрещает бесконечно убывающие цепочки принадлежности (например, множества, содержащие сами себя). В результате сформировалась система ZF, названная в честь обоих учёных.

Стандартизация ZFC

В 1930-х годах система ZF получила широкое признание. Аксиома выбора, которая была частью исходной системы Цермело, оставалась предметом споров из-за её неконструктивного характера. В 1963 году Пол Коэн доказал независимость аксиомы выбора от ZF, что подтвердило необходимость её явного включения в систему ZFC. Сегодня ZFC является стандартной аксиоматикой для большинства математических исследований, хотя существуют и альтернативные системы (например, теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя, NBG).

Аксиомы ZF

Система ZF состоит из восьми аксиом и одной схемы аксиом (подстановки). Все они формулируются на языке логики первого порядка с единственным бинарным отношением ∈ (принадлежность). Ниже приведены основные аксиомы в неформальной формулировке.

1. Аксиома объёмности (экстенсиональности)

Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Формально: ∀A ∀B (∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇒ A = B). Эта аксиома определяет, что множество однозначно задаётся своими элементами.

2. Аксиома пустого множества

Существует множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается ∅. Формально: ∃A ∀x (x ∉ A). Это множество уникально по аксиоме объёмности.

3. Аксиома пары

Для любых двух множеств a и b существует множество, содержащее в точности a и b. Формально: ∀a ∀b ∃C ∀x (x ∈ C ⇔ x = a ∨ x = b). Это позволяет строить неупорядоченные пары.

4. Аксиома объединения

Для любого множества A существует множество, содержащее все элементы элементов A (то есть объединение семейства множеств). Формально: ∀A ∃B ∀x (x ∈ B ⇔ ∃C (C ∈ A ∧ x ∈ C)). Эта аксиома позволяет объединять множества.

5. Аксиома степени (булеана)

Для любого множества A существует множество всех его подмножеств (булеан). Формально: ∀A ∃B ∀x (x ∈ B ⇔ x ⊆ A). Эта аксиома обеспечивает существование множества всех подмножеств, что важно для построения континуума и других мощностей.

6. Аксиома бесконечности

Существует индуктивное множество, то есть множество, содержащее пустое множество и замкнутое относительно операции следования (x ∪ {x}). Формально: ∃I (∅ ∈ I ∧ ∀x (x ∈ I ⇒ x ∪ {x} ∈ I)). Эта аксиома гарантирует существование множества натуральных чисел (по фон Нейману).

7. Схема аксиом подстановки (замены)

Для любой формулы φ(x, y) с двумя свободными переменными, такой что для каждого x существует не более одного y, удовлетворяющего φ, для любого множества A существует множество B, содержащее все y, для которых существует x ∈ A с φ(x, y). Формально: ∀A (∀x∈A ∃!y φ(x,y) ⇒ ∃B ∀y (y∈B ⇔ ∃x∈A φ(x,y))). Эта схема позволяет строить образы множеств при функциональных отображениях.

8. Аксиома регулярности (основания)

Любое непустое множество A содержит элемент, не пересекающийся с A. Формально: ∀A (A ≠ ∅ ⇒ ∃x∈A (x ∩ A = ∅)). Эта аксиома запрещает бесконечно убывающие цепочки вложенности (например, множества, содержащие сами себя), что делает теорию более удобной для работы с ординалами.

9. Аксиома выбора (добавляется в ZFC)

Для любого множества непустых множеств существует функция выбора, которая каждому множеству сопоставляет один из его элементов. Формально: ∀X (∅∉X ⇒ ∃f: X → ∪X ∀A∈X (f(A)∈A)). Эта аксиома не выводится из ZF и является предметом отдельного обсуждения.

Классификация и свойства

Отношения между аксиомами

Аксиомы ZF не являются независимыми. Например, аксиома пары может быть выведена из аксиомы степени и подстановки, но обычно включается для удобства. Аксиома выделения (схема, позволяющая образовывать подмножества) является следствием подстановки, поэтому в ZF она не включается отдельно.

ZF vs ZFC

Основное различие между ZF и ZFC заключается в аксиоме выбора. В ZFC она добавляется как отдельная аксиома. ZFC является более сильной системой: она позволяет доказывать существование объектов, которые не могут быть построены конструктивно (например, базис Гамеля для любого векторного пространства или неизмеримые множества). Однако аксиома выбора приводит к некоторым неинтуитивным следствиям, таким как парадокс Банаха — Тарского (разбиение шара на конечное число частей, которые можно переставить в два шара того же объёма).

Непротиворечивость и независимость

Непротиворечивость ZF не может быть доказана средствами самой ZF (вторая теорема Гёделя о неполноте). Если ZF непротиворечива, то она неполна: существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках ZF. Примером является континуум-гипотеза (CH), которая была доказана независимой от ZFC Полом Коэном в 1963 году. Аксиома выбора также независима от ZF.

Применение и значение

Фундамент математики

Теория множеств ZF(C) служит основой для формализации всех разделов математики. В ней определяются натуральные числа, целые, рациональные, действительные числа, функции, отношения, топологические пространства и другие объекты. Большинство математических доказательств могут быть переведены на язык ZFC, хотя на практике это делается редко.

Теория ординалов и кардиналов

В ZF можно построить теорию ординальных чисел (порядковых типов) и кардинальных чисел (мощностей). Ординалы фон Неймана — это множества, транзитивные и линейно упорядоченные отношением ∈. Они позволяют классифицировать бесконечные порядки. Кардиналы — это ординалы, которые не равномощны никакому меньшему ординалу.

Ограничения и критика

Несмотря на широкое распространение, ZF(C) имеет критиков. Некоторые математики (например, сторонники интуиционизма) отвергают аксиому выбора из-за её неконструктивности. Другие указывают на то, что ZF не даёт ответа на вопрос о существовании больших кардиналов (например, недостижимых кардиналов), которые используются в теории множеств для изучения аксиом больших кардиналов. Кроме того, существуют альтернативные системы, такие как теория множеств с аксиомой детерминированности (AD), которая противоречит аксиоме выбора.

Интересные факты

• Аксиома регулярности была добавлена Френкелем для устранения парадоксов, связанных с множествами, содержащими сами себя. Однако она не является необходимой для непротиворечивости; существуют теории множеств без аксиомы основания (например, теория множеств с антифундаментом).
• Пол Коэн получил Филдсовскую медаль в 1966 году за доказательство независимости континуум-гипотезы от ZFC. Его метод форсинга стал фундаментальным инструментом в теории множеств.
• Система ZF является рекурсивно перечислимой, то есть существует алгоритм, который перечисляет все её теоремы. Однако проверка, является ли данное утверждение теоремой ZF, алгоритмически неразрешима (неразрешимость логики первого порядка).
• В 2023 году группа математиков завершила формализацию ZFC в системе Lean (проверяемый доказательств), что подтвердило возможность компьютерной верификации математических рассуждений.

Источники

• Цермело, Э. (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre». Mathematische Annalen, 65(2), 261–281.
• Френкель, А. (1922). «Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre». Mathematische Annalen, 86(3–4), 230–237.
• Коэн, П. (1963). «The Independence of the Continuum Hypothesis». Proceedings of the National Academy of Sciences, 50(6), 1143–1148.
• Йех, Т. (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer.
• Куратовский, К., Мостовский, А. (1976). Set Theory: With an Introduction to Descriptive Set Theory. North-Holland.