Теория множеств Цермело-Френкеля

Теория множеств Цермело-Френкеля (ZF, от нем. Zermelo-Fraenkel) — это стандартная аксиоматическая теория множеств, которая служит общепринятым фундаментом для современной математики. Она представляет собой формальную систему, состоящую из аксиом, описывающих свойства понятия «множество» и отношение принадлежности элемента множеству (∈). ZF была разработана для устранения парадоксов, возникавших в наивной теории множеств Георга Кантора, например, парадокса Рассела (множество всех множеств, не содержащих себя) и парадокса Бурали-Форти. Наиболее распространённая версия включает аксиому выбора и обозначается ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice).

История

Предпосылки и кризис оснований

На рубеже XIX—XX веков теория множеств Кантора развивалась как интуитивная (наивная) концепция. Однако к началу 1900-х годов были обнаружены логические противоречия (парадоксы). Первым систематизированный список проблем представил Эрнст Цермело в 1908 году в работе «Исследования по основаниям теории множеств, I». Цермело стремился аксиоматизировать теорию множеств так, чтобы исключить неконтролируемые образования множеств, такие как «множество всех множеств».

Вклад Цермело

Цермело сформулировал систему из семи аксиом в 1908 году. Однако она подвергалась критике за неполноту (в частности, отсутствовали аксиомы подстановки и регулярности). В 1922 году Абрахам Френкель и независимо Торальф Скулем предложили дополнить систему аксиомой подстановки. Эта версия стала известна как ZF (Цермело-Френкеля).

Формализация и развитие

В 1925—1930-х годах Джон фон Нейман, Пауль Бернайс и Курт Гёдель разработали альтернативную систему (NBG — фон Неймана — Бернайса — Гёделя), которая консервативна относительно ZF, но включает классы. В 1930-х годах была добавлена аксиома регулярности (фундирования), предложенная фон Нейманом. В 1940 году Гёдель доказал непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы относительно ZF. В 1963 году Пол Коэн показал их независимость от ZF, используя форсинг.

Аксиомы ZFC

Система ZFC состоит из аксиом ZF плюс аксиома выбора. Ниже перечислены основные аксиомы в современной формулировке, основанной на языке первопорядковой логики с равенством. В ZF логической аксиомой является аксиома экстенсиональности (множества равны, если состоят из одних и тех же элементов).

1. Аксиома объёмности (экстенсиональности)

∀ A ∀ B ( ∀ x ( x ∈ A ⟺ x ∈ B ) ⟹ A = B ) Говорит, что множество полностью определяется своими элементами.

2. Аксиома пустого множества (существования)

∃ B ∀ x ( x ∉ B ) Существует множество, не содержащее элементов — пустое множество.

3. Аксиома пары

∀ a ∀ b ∃ C ∀ x ( x ∈ C ⟺ x = a ∨ x = b ) Для любых двух множеств существует множество, содержащее их.

4. Аксиома объединения (суммы)

∀ A ∃ B ∀ x ( x ∈ B ⟺ ∃ y ( x ∈ y ∧ y ∈ A ) ) Для любого множества A существует множество, являющееся объединением элементов этого A.

5. Аксиома множества подмножеств (булеана)

∀ A ∃ B ∀ x ( x ∈ B ⟺ x ⊆ A ) Для любого множества существует множество всех его подмножеств.

6. Аксиома бесконечности

∃ I ( ∅ ∈ I ∧ ∀ x ( x ∈ I ⟹ x ∪ { x } ∈ I ) ) Существует бесконечное множество (обычно множество натуральных чисел в интерпретации фон Неймана).

7. Аксиома выделения (схема аксиом)

∀ A ∃ B ∀ x ( x ∈ B ⟺ x ∈ A ∧ P ( x ) ) Для любого множества A и свойства P (выраженного формулой) существует подмножество элементов A, удовлетворяющих P. Это схема аксиом (для каждой формулы P — своя аксиома).

8. Аксиома подстановки (схема аксиом)

∀ a ∀ x ∀ y ∀ z ( ( P ( x , y ) ∧ P ( x , z ) ⟹ y = z ) ⟹ ∃ B ∀ y ( y ∈ B ⟺ ∃ x ( x ∈ a ∧ P ( x , y ) ) ) Если Р — функциональное отношение, то образ множества a при этой функции тоже является множеством. (Замена 7 более мощной схемой).

9. Аксиома регулярности (фундирования)

∀ A ( A ≠ ∅ ⟹ ∃ x ∈ A ( x ∩ A = ∅ ) ) Любое непустое множество содержит элемент, не пересекающийся с ним (предотвращает бесконечно убывающие цепочки ∈).

10. Аксиома выбора (Choice, AC)

Для любого семейства непустых непересекающихся множеств существует множество-выбор, содержащее по одному элементу из каждого. (В наиболее удобной форме — утверждение о декартовом произведении непустых множеств.) AC независима от ZF и спорна для некоторых математиков.

Классификация и следствия

Полнота и непротиворечивость

Согласно теоремам Гёделя о неполноте, ZF не может доказать свою собственную непротиворечивость (если она непротиворечива). Большинство математиков принимают ZF как непротиворечивую на основании практики (отсутствие известных противоречий).

Отношение к другим теориям

• NBG (фон Неймана — Бернайса — Гёделя): консервативное расширение ZF (если ZF непротиворечива, то NBG тоже). Включает понятие класса.
• Теория типов Рассела: альтернативный подход, решающий парадоксы через иерархию типов.
• Конструктивная математика: использует ослабленные версии ZF без аксиомы выбора (например, CZF — конструктивная ZF).

Разрешимость континуум-гипотезы

Континуум-гипотеза (CH) — утверждение, что мощность континуума (множества действительных чисел) является наименьшей несчётной мощностью. Гёдель (1940) доказал её относительную непротиворечивость с ZF (не противоречит ZF, если ZF непротиворечива). Коэн (1963) доказал её независимость (CH не может быть ни доказана, ни опровергнута из ZF). То есть ZF + CH и ZF + ¬CH одинаково непротиворечивы при условии непротиворечивости ZF.

Применение

Теория множеств ZFC является стандартным языком для изложения математики. Практически все основные разделы математики (анализ, топология, алгебра, функциональный анализ) могут быть формализованы в рамках ZFC. В работах по основаниям математики изучаются метаматематические свойства ZF: аксиоматические системы, форсинг, теория моделей. ZFC используется в теоретической информатике (например, при анализе сложности алгоритмов через понятие кардинальных чисел) и в формальной верификации (системы доказательства теорем, такие как Coq и Isabelle, опираются на варианты теории типов, но прямые формализации на ZFC встречаются реже).

Критика и ограничения

• Спорность аксиомы выбора: AC приводит к неконструктивным доказательствам (например, существование базиса Гамеля для любого векторного пространства), что неприемлемо для конструктивных математиков.
• Невозможность внутриматематического доказательства непротиворечивости: для проверки непротиворечивости ZF требуется более сильная теория (например, ZFC + «существует недостижимый кардинал»), что влечёт регресс.
• Парадоксы «почти множеств»: в ZF нет множества всех множеств, всех кардиналов, всех ординалов, что ограничивает интуитивную логику «всеобъемлющих» объектов. Используются классы (например, в NBG).
• Альтернативные системы: некоторые математики развивают нестандартные теории (например, в гомотопической теории типов), предлагающие иной фундамент.

Интересные факты

• В 2010 году группа математиков (в рамках проекта Formalizing 100 Theorems) формализовала доказательство теоремы Пифагора в системе Mizar, основанной на варианте ZF.
• Аксиома выбора в повседневном математическом языке неявно используется в доказательствах, опирающихся на «произвольный выбор» элемента из бесконечного семейства.
• В отличие от ZF, система NBG является конечно-аксиоматизируемой (конечное количество аксиом, без схем).

Источники

1. Цермело, Э. (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I».
2. Френкель, А. (1922). «Einleitung in die Mengenlehre».
3. Скулем, Т. (1922). «Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre».
4. Гёдель, К. (1940). «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis».
5. Коэн, П. (1963). «The Independence of the Continuum Hypothesis».
6. Джонстон, П. (1999). «Notes on Logic and Set Theory».
7. Ерих, В. М. (2007). «Теория множеств».