Тест Фридмана

Тест Фридмана (критерий Фридмана, дисперсионный анализ Фридмана) — это непараметрический статистический критерий, предназначенный для сравнения трёх и более связанных (зависимых) выборок. Он используется для проверки гипотезы о том, что распределения измерений в нескольких условиях (например, в разные моменты времени или при разных методах обработки) не различаются между собой. Тест Фридмана является непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) с повторными измерениями, но не требует нормальности распределения данных.

История и происхождение

Критерий был предложен американским экономистом и статистиком Милтоном Фридманом в 1937 году. Первоначально он был разработан для анализа данных в экспериментах с повторными измерениями, где традиционные параметрические методы были неприменимы из-за нарушения предположения о нормальности. В 1939 году Фридман опубликовал уточнение, в котором ввёл поправку на непрерывность для малых выборок. С тех пор тест стал стандартным инструментом в биологии, психологии, медицине и других областях, где работают с ординальными или непараметрическими данными.

Основные предположения и ограничения

Тест Фридмана основан на следующих предположениях:

• Связанность выборок: данные должны быть сгруппированы по блокам (например, один и тот же объект измеряется в разных условиях, или объекты подобраны в пары по сопутствующим признакам).
• Ординальность: измеряемая переменная должна быть как минимум порядковой (ранговой), то есть можно упорядочить наблюдения по величине.
• Независимость блоков: блоки (например, испытуемые) должны быть независимы друг от друга.
• Отсутствие взаимодействия: тест не проверяет взаимодействие между факторами, а только основное влияние условия.

Ограничения:

• Тест не позволяет определить, какие именно пары условий различаются (требуется последующий апостериорный анализ, например, сравнение с помощью критерия Уилкоксона с поправкой Бонферрони).
• При малом числе блоков (менее 10) и небольшом числе условий (менее 4) мощность теста может быть низкой.
• Тест чувствителен к наличию выбросов, хотя и в меньшей степени, чем параметрические методы.

Процедура вычисления

Расчёт теста Фридмана включает несколько этапов:

1. Ранжирование внутри блоков: для каждого блока (например, для каждого испытуемого) значения измерений в разных условиях упорядочиваются по возрастанию и присваиваются ранги от 1 до k (где k — число условий). При наличии одинаковых значений (связей) используются средние ранги.

1. Суммирование рангов: для каждого условия вычисляется сумма рангов Rj по всем блокам.

1. Вычисление статистики: статистика теста Фридмана (Q) рассчитывается по формуле:

\[ Q = \frac{12}{n k (k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 - 3 n (k+1) \]

где n — число блоков (например, испытуемых), k — число условий.

1. Поправка на связи: если в данных много одинаковых значений, применяется поправка на связанные ранги, которая уменьшает знаменатель.

1. Определение значимости: при нулевой гипотезе (отсутствие различий) статистика Q аппроксимируется распределением χ² с (k-1) степенями свободы. Для малых выборок (n < 10, k < 4) используются точные таблицы критических значений, разработанные Фридманом.

Интерпретация результатов

• Нулевая гипотеза (H₀): распределения измерений во всех условиях одинаковы (медианы равны).
• Альтернативная гипотеза (H₁): хотя бы одно условие отличается от других.

Если p-значение меньше выбранного уровня значимости (обычно 0,05), нулевая гипотеза отвергается, и делается вывод о наличии статистически значимых различий между условиями. Однако тест не указывает, какие именно пары различаются — для этого проводят множественные сравнения.

Пример использования

Предположим, исследователь изучает влияние трёх диет (A, B, C) на вес пациентов. Каждый пациент (блок) последовательно соблюдает каждую диету в течение месяца, и измеряется потеря веса (в кг). Данные не подчиняются нормальному распределению, поэтому применяется тест Фридмана.

1. Для каждого пациента ранжируются результаты по трём диетам (1 — наименьшая потеря, 3 — наибольшая).
2. Вычисляются суммы рангов для каждой диеты: R_A = 15, R_B = 25, R_C = 20 (при n=10).
3. Статистика Q = 12/(1034) (15² + 25² + 20²) - 3104 = 0,1 (225 + 625 + 400) - 120 = 125 - 120 = 5.
4. Критическое значение χ² для 2 степеней свободы при α=0,05 равно 5,99. Поскольку 5 < 5,99, нулевая гипотеза не отвергается — различия между диетами статистически незначимы.

Связь с другими критериями

• Критерий Уилкоксона (для двух связанных выборок) является частным случаем теста Фридмана при k=2.
• Критерий Крускала-Уоллиса — непараметрический аналог однофакторного ANOVA для независимых выборок.
• ANOVA с повторными измерениями — параметрический аналог, требующий нормальности и сферичности.
• Коэффициент конкордации Кендалла (W) — мера согласованности рангов, тесно связанная с тестом Фридмана: W = Q / (n(k-1)).

Применение в науке

Тест Фридмана широко используется в:

• Медицине: сравнение эффективности нескольких методов лечения на одной группе пациентов.
• Психологии: анализ изменений показателей в ходе повторных тестирований.
• Биологии: оценка влияния различных условий на рост организмов.
• Экономике: сравнение предпочтений респондентов в маркетинговых исследованиях.
• Технике: анализ результатов экспериментов с повторными измерениями.

Программная реализация

Тест Фридмана реализован в большинстве статистических пакетов:

• R: функция friedman.test() из пакета stats.
• Python: friedmanchisquare() из модуля scipy.stats.
• SPSS: процедура «Nonparametric Tests > Related Samples».
• SAS: процедура FREQ с опцией FRIEDMAN.
• Excel: возможен ручной расчёт с использованием формул.

Критика и альтернативы

Основные критические замечания:

• Тест Фридмана может быть менее мощным, чем параметрические методы, если данные близки к нормальному распределению.
• Он не учитывает величину различий между рангами, только их порядок.
• При наличии большого числа связей (одинаковых значений) поправка может быть недостаточно точной.

Альтернативы:

• ANOVA с повторными измерениями — при выполнении параметрических предположений.
• Обобщённая линейная модель (GLM) — для данных с другими распределениями (например, биномиальным).
• Байесовские подходы — для малых выборок или сложных структур данных.

Источники

• Friedman, M. (1937). "The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality Implicit in the Analysis of Variance". Journal of the American Statistical Association, 32(200), 675–701.
• Friedman, M. (1939). "A Correction: The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality Implicit in the Analysis of Variance". Journal of the American Statistical Association, 34(205), 109.
• Hollander, M., Wolfe, D. A., & Chicken, E. (2014). Nonparametric Statistical Methods (3rd ed.). Wiley.
• Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.
• Conover, W. J. (1999). Practical Nonparametric Statistics (3rd ed.). Wiley.