Тест на единичный корень¶

Тест на единичный корень — это статистическая процедура, предназначенная для проверки гипотезы о том, является ли временной ряд нестационарным вследствие наличия единичного корня в его авторегрессионном представлении. Тесты этой группы широко применяются в эконометрике, макроэкономике и финансовом анализе для определения порядка интегрированности ряда и выбора корректной модели прогнозирования.

¶Определение и теоретическая основа

Временной ряд \(y_t\) считается стационарным, если его статистические свойства (среднее, дисперсия, автоковариация) не зависят от времени. Наличие единичного корня означает, что ряд является интегрированным первого порядка \(I(1)\): его первые разности \(\Delta y_t = y_t - y_{t-1}\) стационарны. Формально, если авторегрессионная модель первого порядка \(y_t = \rho y_{t-1} + \varepsilon_t\) имеет \(\rho = 1\), то ряд содержит единичный корень и является нестационарным. При \(\rho < 1\) ряд стационарен.

Тесты на единичный корень проверяют нулевую гипотезу \(H_0: \rho = 1\) против альтернативной \(H_1: \rho < 1\). Отклонение от нулевой гипотезы свидетельствует в пользу стационарности.

¶История

Концепция единичного корня была введена в 1970-х годах в работах Дэвида Дики и Уэйна Фуллера. В 1979 году они опубликовали тест, известный как тест Дики — Фуллера (DF), который стал основой для последующих модификаций. В 1981 году те же авторы предложили расширенную версию (ADF), учитывающую автокорреляцию остатков. В 1988 году Стивен Беверлидж и Чарльз Нельсон показали, что единичный корень связан с перманентными и временными компонентами временных рядов. В 1992 году Пьер Филлипс и Пьер Перрон разработали непараметрический тест, устойчивый к гетероскедастичности. В 1996 году Грэм Эллиотт, Томас Ротенберг и Джеймс Сток предложили тест на основе обобщённого метода наименьших квадратов (DF-GLS), обладающий большей мощностью.

¶Основные виды тестов

¶Тест Дики — Фуллера (DF)

Классический тест, основанный на регрессии: \[ \Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \varepsilon_t, \] где \(\gamma = \rho - 1\). Нулевая гипотеза: \(\gamma = 0\). Критические значения для t-статистики \(\gamma\) были табулированы Дики и Фуллером. Тест чувствителен к автокорреляции остатков, что ограничивает его применение.

¶Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)

Модификация, включающая лаговые разности зависимой переменной для устранения автокорреляции: \[ \Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t. \] Число лагов \(p\) выбирается по информационным критериям (Акаике, Шварца) или по значимости. ADF — наиболее распространённый тест на единичный корень в прикладных исследованиях.

¶Тест Филлипса — Перрона (PP)

Непараметрический тест, корректирующий t-статистику на автокорреляцию и гетероскедастичность без добавления лагов. Использует оценку долгосрочной дисперсии остатков по методу Ньюи — Уэста. Менее чувствителен к выбору спецификации, чем ADF, но может иметь меньшую мощность при малых выборках.

¶Тест DF-GLS (Эллиотта — Ротенберга — Стока)

Тест на основе локально наилучших инвариантных оценок. Сначала данные детрендируются с помощью обобщённого метода наименьших квадратов, затем применяется стандартный тест Дики — Фуллера. Обеспечивает более высокую мощность по сравнению с ADF, особенно при наличии детерминированного тренда.

¶Тест Квятковского — Филлипса — Шмидта — Шина (KPSS)

В отличие от других тестов, KPSS проверяет нулевую гипотезу о стационарности ряда против альтернативы о наличии единичного корня. Основан на разложении ряда на детерминированный тренд, случайное блуждание и стационарную ошибку. Часто используется в паре с ADF для подтверждения результатов.