Тетромино — геометрическая фигура из четырёх квадратов¶

Тетромино — геометрическая фигура, образованная соединением четырёх квадратов попарно по общим сторонам так, что получается связная плоская фигура без отверстий. Слово «тетромино» происходит от греческого «тетра» (четыре) и латинского «ном» (часть, единица). Тетромино относится к классу полимино — плоских фигур, составленных из одинаковых квадратов. Если полимино из n квадратов называется n-мино, то тетромино — это 4-мино. Всего существует ровно семь различных тетромино (с учётом поворотов и отражений), что делает их популярным объектом комбинаторной геометрии и основой ряда логических игр.

¶История

Понятие полимино ввёл в обиход американский математик Соломон Голомб в 1953 году. Его работа «Спортивные математические игры» и последующая книга «Polyominoes» (1965) заложили основу изучения этих фигур. Сам термин «тетромино» появился в контексте игры «Тетрис», созданной советским программистом Алексеем Пажитновым в 1984 году в Вычислительном центре Академии наук СССР. В этой игре фигуры, падающие сверху, состоят ровно из четырёх квадратов, и именно они получили широкое распространение в массовой культуре.

¶Классификация

Из четырёх квадратов можно составить семь попарно несовпадающих (с учётом поворотов и зеркальных отражений) тетромино:

Фигуры S и Z являются зеркальными отражениями друг друга, как и J и L. Если считать зеркальные отражения различными фигурами (как это принято в «Тетрисе»), получается семь тетромино. Если же отождествлять фигуру с её зеркальным отражением, число несводимых фигур сокращается до пяти.

¶Математические свойства

Каждое тетромино занимает площадь, равную четырём единичным квадратам. Среди семи тетромино только фигура O (квадрат 2×2) обладает полной группой симметрии, включающей повороты на 90°. Фигура I имеет осевую симметрию. Остальные пять фигур (T, S, Z, J, L) имеют только тривиальную симметрию или симметрию поворота на 180°.

Классическая задача комбинаторики: можно ли уложить все семь тетромино в прямоугольник? Площадь семи тетромино равна 28 единичным квадратам, поэтому возможные прямоугольники — 1×28, 2×14, 4×7. Укладка в прямоугольник 4×7 возможна и является распространённой задачей на логическое мышление. Укладка в 2×14 невозможна из-за ограничений по раскраске клеток шахматным порядком.

Другая известная задача — укладка тетромино в прямоугольник 8×8 (шахматная доска). Все семь тетромино вместе с одним дополнительным тетромино (например, ещё одной фигурой I) могут быть размещены на доске 8×8, что используется в соответствующих головоломках.

¶Тетрис

Наиболее известное применение тетромино — компьютерная игра «Тетрис», разработанная Алексеем Пажитновым 6 июня 1984 года на компьютере «Электроника-60». В игре фигуры падают на игровое поле, и задача игрока — укладывать их так, чтобы заполненные горизонтальные ряды исчезали. Игра быстро распространилась по СССР, затем по всему миру; её портировали на множество платформ, включая Game Boy (1989), что обеспечило ей глобальную популярность. Права на «Тетрис» долгое время были предметом международных юридических споров между советской стороной и западными компаниями.

¶Применение

Помимо «Тетриса», тетромино используются в математических задачах и головоломках, в дидактических материалах для обучения геометрии и комбинаторике, а также в компьютерных играх жанра «пазл». Тетромино применяются при изучении задач о покрытии и раскраске, в теории кодирования и в алгоритмах упаковки. Фигуры из четырёх квадратов также встречаются в архитектурных орнаментах и декоративных панелях, где модульность и повторяемость элементов создаёт узнаваемый геометрический рисунок.

Источники:

• Голомб С. «Polyominoes», Princeton University Press, 1965
• Пажитнов А. Оригинальная реализация игры «Тетрис», ВЦ АН СССР, 1984
• Голомб С. «Занимательные задачи на перекрытия», М.: Мир