Топологическая размерность

Топологическая размерность — это инвариант топологического пространства, характеризующий его «степень свободы» или «число независимых направлений» в наиболее общем, качественном смысле. В отличие от евклидовой или фрактальной размерности, топологическая размерность является целым неотрицательным числом (или бесконечностью) и не зависит от метрических свойств пространства, а определяется только его топологической структурой. Существует несколько эквивалентных определений топологической размерности, наиболее распространёнными из которых являются малая индуктивная размерность (ind), большая индуктивная размерность (Ind) и размерность Лебега (dim), также называемая покрывающей размерностью.

История

Понятие топологической размерности возникло в начале XX века в связи с необходимостью строгого математического определения того, что такое «размерность» в топологии. До этого размерность понималась интуитивно (как число координат) или как размерность векторного пространства. Первые попытки формализации предприняли Анри Пуанкаре и Лейтцен Брауэр. В 1911 году Брауэр дал определение, близкое к современной индуктивной размерности, и доказал инвариантность размерности при гомеоморфизмах (теорема Брауэра об инвариантности размерности). В 1912 году Эдуард Чех и Павел Урысон независимо разработали теорию размерности. Урысон в 1922–1924 годах создал основы теории малой индуктивной размерности, а Чех в 1930-х годах развил теорию большой индуктивной размерности. В 1921 году Карл Менгер и Павел Урысон независимо ввели понятие размерности Лебега (покрывающей размерности), основанное на свойствах покрытий пространства открытыми множествами. Эти определения оказались эквивалентными для широкого класса топологических пространств (например, для метрических сепарабельных пространств), но в общем случае могут различаться.

Определения

Существуют три основных подхода к определению топологической размерности, которые в общем случае не эквивалентны.

Малая индуктивная размерность (ind)

Малая индуктивная размерность определяется рекурсивно:

1. Пустое множество имеет размерность ind(∅) = -1.
2. Для непустого топологического пространства X полагают ind(X) ≤ n, если для любой точки x ∈ X и любой её окрестности U существует такая окрестность V точки x, что V ⊂ U и граница V (множество ∂V = cl(V) \ int(V)) имеет размерность ind(∂V) ≤ n-1.
3. ind(X) = n, если ind(X) ≤ n и неверно, что ind(X) ≤ n-1.
4. Если неравенство ind(X) ≤ n не выполняется ни для какого n, то ind(X) = ∞.

Большая индуктивная размерность (Ind)

Большая индуктивная размерность определяется аналогично, но с использованием замкнутых множеств вместо точек:

1. Пустое множество имеет размерность Ind(∅) = -1.
2. Для непустого пространства X полагают Ind(X) ≤ n, если для любого замкнутого множества A ⊂ X и любой его окрестности U существует такая окрестность V множества A, что V ⊂ U и граница V имеет размерность Ind(∂V) ≤ n-1.
3. Ind(X) = n, если Ind(X) ≤ n и неверно, что Ind(X) ≤ n-1.
4. Ind(X) = ∞, если неравенство не выполняется ни для какого n.

Размерность Лебега (dim)

Размерность Лебега, или покрывающая размерность, определяется через свойства открытых покрытий. Для нормального пространства X:

1. dim(X) ≤ n, если любое конечное открытое покрытие пространства X имеет вписанное в него конечное открытое покрытие кратности ≤ n+1 (то есть каждая точка принадлежит не более чем n+1 элементам покрытия).
2. dim(X) = n, если dim(X) ≤ n и неверно, что dim(X) ≤ n-1.
3. dim(X) = ∞, если неравенство не выполняется ни для какого n.

Свойства

Топологическая размерность обладает рядом фундаментальных свойств:

• Монотонность: Если A ⊂ X, то dim(A) ≤ dim(X) (для подпространств с индуцированной топологией).
• Инвариантность: Топологическая размерность является топологическим инвариантом: если X и Y гомеоморфны, то их размерности (ind, Ind, dim) совпадают.
• Размерность произведения: Для метрических сепарабельных пространств dim(X × Y) ≤ dim(X) + dim(Y). Равенство выполняется не всегда (например, для некоторых канторовых множеств).
• Связь с евклидовой размерностью: Для евклидова пространства ℝⁿ все три определения дают n. Это следует из теоремы Брауэра об инвариантности размерности.
• Для метрических сепарабельных пространств все три определения (ind, Ind, dim) совпадают. Для неметризуемых пространств они могут различаться. Например, существуют пространства, для которых ind = 0, Ind = 1, dim = 2.
• Размерность нуль: Пространство имеет размерность 0, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств (например, канторово множество, дискретное пространство).
• Размерность один: Пространства размерности 1 — это, например, окружность, отрезок, графы (без точек ветвления степени > 2). Классический пример — «ковёр Серпинского» имеет топологическую размерность 1, хотя его фрактальная размерность больше 1.
• Размерность два: Поверхности (сфера, тор, бутылка Клейна) имеют топологическую размерность 2. «Губка Менгера» — пример пространства топологической размерности 1, но фрактальной размерности около 2,7.

Примеры

• Точка: Топологическая размерность точки равна 0.
• Отрезок: Размерность отрезка [0,1] равна 1.
• Плоскость: Размерность ℝ² равна 2.
• Канторово множество: Размерность 0, несмотря на то, что его мощность континуум.
• Кривая Пеано: Непрерывное отображение отрезка на квадрат (кривая, заполняющая пространство) имеет топологическую размерность 1 (как образ отрезка), но её образ (квадрат) имеет размерность 2. Это показывает, что топологическая размерность не сохраняется при непрерывных отображениях (только при гомеоморфизмах).
• Фракталы: Многие фракталы (например, снежинка Коха) имеют топологическую размерность 1, хотя их фрактальная (хаусдорфова) размерность больше 1. Это связано с тем, что фракталы являются кривыми, но имеют сложную локальную структуру.

Применение

Топологическая размерность является фундаментальным понятием в топологии и геометрии. Она используется:

• Для классификации топологических пространств (например, многообразий).
• В теории размерности — разделе топологии, изучающем инварианты размерности.
• В теории фракталов — для различения топологической и фрактальной размерности.
• В функциональном анализе — при изучении свойств бесконечномерных пространств (например, гильбертово пространство имеет бесконечную топологическую размерность).
• В теории динамических систем — для анализа аттракторов и странных аттракторов.

Интересные факты

• Существуют пространства, у которых все три определения размерности различны. Например, пространство, построенное П. С. Александровым, имеет ind = 0, Ind = 1, dim = 2.
• Теорема Брауэра об инвариантности размерности утверждает, что ℝⁿ и ℝᵐ гомеоморфны тогда и только тогда, когда n = m. Это одно из первых строгих доказательств того, что размерность является топологическим инвариантом.
• Понятие топологической размерности тесно связано с понятием «размерности» в теории графов: граф (как одномерный симплициальный комплекс) имеет топологическую размерность 1 (если он не содержит циклов — 0).

Источники

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.
• Хатсон В., Пим Дж. Применение функционального анализа и теории операторов. — М.: Мир, 1983.
• Менгер К. Теория размерности. — М.: ИЛ, 1948.
• Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — М.: ГИТТЛ, 1951.