Тор — геометрическая фигура¶

Тор — геометрическое тело, поверхность вращения, образуемая при вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не пересекающей её. В топологии тор представляет собой замкнутую поверхность рода 1 и служит одним из базовых объектов изучения. В быту форму тора имеют бублик, баранка, спасательный круг и камера колеса.

¶Определение и параметры

Тор задаётся двумя радиусами: R — расстоянием от оси вращения до центра образующей окружности, и r — радиусом самой образующей окружности. При этом выполняется условие R > r. Если R = r, поверхность вырождается в так называемый роговой тор (тор-рог) с самокасанием в центре. Если R < r, получается самопересекающийся шпиндельный тор.

Основные характеристики стандартного тора:

• Площадь поверхности: S = 4π²Rr.
• Объём ограниченного тела: V = 2π²Rr².
• Эйлерова характеристика: χ = 0.
• Род поверхности: g = 1.

Параметрическое задание тора в декартовых координатах:

x = (R + r·cos φ)·cos θ, y = (R + r·cos φ)·sin θ, z = r·sin φ,

где θ и φ — углы, пробегающие значения от 0 до 2π.

¶История изучения

Поверхности вращения рассматривались ещё в античной геометрии, однако систематическое изучение тора связано с развитием математического анализа и топологии в XVIII–XIX веках. Термин «тор» (от латинского torus — «вздутие», «валик») вошёл в употребление в геометрии в XIX столетии. Леонард Эйлер в работах по топологии многогранников заложил основы классификации поверхностей, где тор занял место ключевого примера поверхности с одной «дыркой». Карл Фридрих Гаусс и Бернхард Риман развили теорию поверхностей, а Анри Пуанкаре в конце XIX века использовал тор как модельный объект при построении топологии и теории динамических систем.

¶Топологические свойства

С топологической точки зрения все торы эквивалентны: любой тор гомеоморфен произведению двух окружностей S¹ × S¹. Это означает, что поверхность можно получить, склеив противоположные стороны квадрата. Тор — компактная ориентируемая поверхность без края.

Фундаментальная группа тора изоморфна свободной абелевой группе с двумя образующими: π₁(T²) = ℤ × ℤ. Это отражает наличие двух независимых замкнутых путей — «меридиана» и «параллели», которые нельзя стянуть в точку.

На торе различают два типа замкнутых кривых: стягиваемые (охватывающие «трубку» и стягивающиеся в точку) и нестягиваемые. Простая замкнутая кривая на торе либо ограничивает диск, либо не стягивается.

¶Виды и обобщения

Помимо классического тора вращения, в математике рассматривают:

• n-мерный тор Tⁿ — произведение n окружностей; одномерный тор есть окружность, двумерный — обычная поверхность бублика.
• Плоский тор — факторпространство плоскости по решётке, наделённое плоской метрикой.
• Узловой тор — вложенный в трёхмерное пространство тор, завязанный в узел.
• Комплексный тор — фактор n-мерного комплексного пространства по решётке.

¶Применение

Форма тора широко используется в технике и повседневной жизни:

• Транспорт и механика: шины, камеры, ремни, цепи, подшипники.
• Электротехника: тороидальные трансформаторы и дроссели, обладающие низким рассеянием магнитного поля.
• Архитектура: купола, ротонды, элементы декора.
• Ядерная физика: тороидальные камеры термоядерных реакторов типа токамак, где плазма удерживается магнитным полем в кольцевой конфигурации.
• Биология: форма тора встречается у некоторых клеточных структур и органов.

¶Тор в культуре и быту

Форма тора привычна в виде хлебобулочных изделий — бубликов, баранок, сушек. Спасательный круг, обруч, надувной круг для плавания — всё это физические воплощения тора. В дизайне и компьютерной графике тор служит стандартным примитивом для построения трёхмерных сцен.

¶Тор в математике и физике

В теории динамических систем тор выступает фазовым пространством для квазипериодических движений. В квантовой теории поля и теории струн компактифицированные дополнительные измерения часто моделируются торами. В теории чисел комплексные торы связаны с эллиптическими кривыми и модулярными формами.

Источники: учебники по дифференциальной геометрии и топологии, математические энциклопедии, справочники по геометрии поверхностей.