Тригонометрия треугольника: нахождение сторон¶

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками (сторонами), соединяющими три точки (вершины), не лежащие на одной прямой. Нахождение неизвестной стороны треугольника — одна из базовых задач планиметрии, решаемая с помощью теорем о соотношениях между сторонами и углами. Выбор метода зависит от того, какие элементы треугольника известны: стороны, углы, высоты, медианы или площадь.

¶Основные теоремы

¶Теорема Пифагора

Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется соотношение:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Если известны катет и гипотенуза, неизвестный катет находится как $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Теорема Пифагора — самый частый способ нахождения стороны в школьной геометрии.

¶Теорема косинусов

Для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, лежащим напротив стороны $c$:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

Формула обобщает теорему Пифагора: при $\gamma = 90°$ слагаемое с косинусом обращается в ноль. Теорема косинусов применяется, когда известны две стороны и угол между ними либо все три стороны (для нахождения углов).

¶Теорема синусов

Отношение любой стороны треугольника к синусу противоположного ему угла постоянно:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Теорема синусов удобна, когда известны два угла и любая сторона (по ней находится вторая сторона), либо две стороны и угол напротив одной из них. В последнем случае возможны два, одно или нерешимых случаев (так называемая «неоднозначность при решении треугольника»).

¶Классификация случаев

¶Дополнительные формулы

¶Высота и площадь

Высота треугольника, опущенная на сторону $c$, выражается через площадь $S$:

$$h_c = \frac{2S}{c}$$

Площадь по формуле Герона вычисляется по трём сторонам:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$

где $p$ — полупериметр. Формула Герона позволяет находить сторону, если известны площадь и две другие стороны, — задача сводится к решению квадратного уравнения.

¶Медиана и биссектриса

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$, определяется формулой:

$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$

Длина биссектрисы, делящей сторону $c$ в отношении $a:b$, вычисляется как:

$$l_c = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b}$$

¶Равнобедренный и равносторонний треугольники

Для равнобедренного треугольника с равными сторонами $a$ и основанием $b$ и углом при вершине $\gamma$:

$$b = 2a \sin\frac{\gamma}{2}$$

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ справедливы:

• высота: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$;
• площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$;
• радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$;
• радиус описанной окружности: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

¶Практическое применение

Задачи на нахождение сторон треугольника встречаются в строительстве и архитектуре (расчёт конструкций, кровель), картографии и геодезии (триангуляция, определение расстояний по базису и углам), астрономии (параллакс, определение расстояний до звёзд), компьютерной графике и игровой индустрии (треугольная сетка, рендеринг). В физике и инженерии разложение векторов на составляющие и расчёт сил сводятся к задачам о треугольнике.

¶Историческая справка

Теорема Пифагора известна с глубокой древности: её следствия использовались в Вавилоне ещё за тысячу лет до Пифагора, а доказательство впервые дано в трудах древнегреческих математиков. Теорема синусов и теорема косинусов сформулированы в Средние века: вклад в их развитие внесли арабские математики (аль-Бируни, Ибн Сина), а в Европе они получили распространение в трудах Н. Коперника и Ф. Виета. Формула Герона носит имя древнегреческого математика I века н. э. Герона Александрийского.

Источники:

• Кочетков Я. А. Геометрия: учебник для 7—9 классов.
• Пономарёв Л. Д., Слободчиков В. И., Шарыгин И. Ф. Геометрия: учебное пособие.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия: учебник для 7—11 классов.
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика: учебник для 7 класса.
• Рабинович И. М. Тригонометрия: учебное пособие.