Целые числа в математике¶
Целые числа — это множество чисел, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным (то есть отрицательных). Обозначается символом ℤ (от нем. Zahlen — «числа»). Множество целых чисел является расширением множества натуральных чисел и замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, но не деления. Целые числа — один из базовых объектов арифметики, алгебры и теории чисел.
¶Определение и обозначение
Формально множество целых чисел определяется как: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Каждому натуральному числу n соответствует противоположное число −n, а сумма n + (−n) равна нулю. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Обозначение ℤ ввёл в употребление немецкий математик Николаус Меркатор в XVII веке, а широкое распространение оно получило благодаря работам математиков XIX века.
Множество целых чисел бесконечно и счётно: его элементы можно пронумеровать, поставив в соответствие каждому целому числу натуральный индекс.
¶Место среди числовых множеств
Целые числа образуют промежуточное звено в иерархии числовых систем:
| Множество | Обозначение | Примеры |
|---|---|---|
| Натуральные | ℕ | 1, 2, 3, … |
| Целые | ℤ | −2, −1, 0, 1, 2 |
| Рациональные | ℚ | 1/2, −3/4, 5 |
| Действительные | ℝ | √2, π, −1,5 |
| Комплексные | ℂ | 2 + 3i |
Каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, но обратные утверждения неверны. Например, число 1/2 рационально, но не целое.
¶Арифметические свойства
На множестве целых чисел определены операции:
- Сложение и вычитание — результат всегда целое число.
- Умножение — произведение целых чисел всегда целое.
- Деление — в общем случае не даёт целого результата; операция деления с остатком позволяет представить любое целое a в виде a = b·q + r, где 0 ≤ r < |b|.
Целые числа образуют коммутативное кольцо относительно сложения и умножения. Это кольцо является целостным (без делителей нуля) и евклидовым, что обеспечивает работу алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя.
¶Делимость и простые числа
В теории чисел центральное место занимают вопросы делимости. Целое число a делится на целое b, если существует такое целое c, что a = b·c. Числа, имеющие ровно два положительных делителя — единицу и само себя, — называются простыми (2, 3, 5, 7, 11, …). Остальные, кроме единицы, называются составными.
Основная теорема арифметики утверждает: любое натуральное число, большее единицы, единственным образом (с точностью до порядка множителей) разлагается в произведение простых чисел. Это утверждение лежит в основе множества математических доказательств и криптографических алгоритмов, в частности RSA.
¶Применение
Целые числа используются повсеместно:
- Быт и измерения — температура ниже нуля, высота над уровнем моря и глубина, банковские счета (долг и прибыль).
- Информатика — целочисленные типы данных (int, long) в языках программирования; операции над ними выполняются с фиксированной точностью.
- Криптография — модульная арифметика, работа с большими простыми числами.
- Физика и техника — квантовые числа, дискретные величины, счётные характеристики.
¶Расширения и обобщения
Понятие целого числа обобщается в нескольких направлениях. Целые гауссовы числа имеют вид a + bi, где a и b — целые, а i — мнимая единица. Целые алгебраические числа — корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице. p-адические числа представляют собой пополнение рациональных чисел по p-адической норме и тесно связаны с теорией делимости.
¶История
Отрицательные числа долгое время не признавались в европейской математике. В Древнем Китае и Индии ими пользовались уже в I тысячелетии н. э. для обозначения долгов. Индийский математик Брахмагупта в VII веке сформулировал правила действий с отрицательными числами. В Европе отрицательные числа вошли в обиход лишь в эпоху Возрождения, а окончательное признание получили в XVII–XVIII веках благодаря работам Рене Декарта и Леонарда Эйлера.
В России систематическое изложение теории чисел связано с трудами П. Л. Чебышёва, доказавшего постулат Бертрана и исследовавшего распределение простых чисел, а также с работами И. М. Виноградова по аналитической теории чисел.
¶Интересные факты
- Сумма всех целых чисел от −n до n равна нулю.
- Множество целых чисел и множество натуральных чисел имеют одинаковую мощность (оба счётны), хотя натуральные числа составляют лишь часть целых.
- Ноль — единственное целое число, не являющееся ни положительным, ни отрицательным.
- Наибольшего и наименьшего целого числа не существует.
Источники: учебники по алгебре и теории чисел, энциклопедические математические словари, классические работы по арифметике.