Условие Вейерштрасса

Условие Вейерштрасса — это необходимое условие экстремума в вариационном исчислении, накладываемое на допустимые кривые, доставляющие экстремум функционалу. Сформулировано немецким математиком Карлом Вейерштрассом в 1879 году. Условие требует, чтобы в точке экстремума функция, входящая в подынтегральное выражение, была не меньше (для минимума) или не больше (для максимума) некоторой опорной функции, построенной по касательной к экстремали. В отличие от классических условий Эйлера — Лагранжа, которые являются дифференциальными, условие Вейерштрасса является интегральным и связано с понятием сильного экстремума.

История

В середине XIX века вариационное исчисление развивалось в основном в рамках слабого экстремума, когда сравнивались кривые, близкие по значению функции и её производной. Карл Вейерштрасс, читая лекции в Берлинском университете в 1870-х годах, обратил внимание на недостаточность классических условий для обеспечения глобального минимума. Он ввёл понятие сильного экстремума, при котором сравниваются кривые, близкие по значению функции, но не обязательно по производной.

В 1879 году Вейерштрасс опубликовал работу, в которой сформулировал необходимое условие, названное впоследствии его именем. Он построил пример функционала, для которого экстремаль, удовлетворяющая уравнению Эйлера — Лагранжа и условию Лежандра, не даёт минимума, так как существует ломаная кривая с меньшим значением функционала. Это привело к созданию теории поля экстремалей и введению понятия «инвариантного интеграла Гильберта».

Формулировка

Пусть требуется найти экстремум функционала

\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') \, dx \]

при фиксированных граничных условиях \( y(x_1) = y_1 \), \( y(x_2) = y_2 \). Функция \( F \) предполагается дважды непрерывно дифференцируемой по всем аргументам.

Пусть \( y_0(x) \) — допустимая кривая, удовлетворяющая уравнению Эйлера — Лагранжа (экстремаль). Для того чтобы \( y_0(x) \) доставляла сильный минимум функционалу \( J \), необходимо, чтобы в каждой точке \( (x, y_0(x)) \) и для любого конечного значения \( p \neq y_0'(x) \) выполнялось неравенство:

\[ E(x, y_0(x), y_0'(x), p) \geq 0, \]

где \( E \) — функция Вейерштрасса, определяемая как:

\[ E(x, y, y', p) = F(x, y, p) - F(x, y, y') - (p - y') F_{y'}(x, y, y'). \]

Для сильного максимума знак неравенства меняется на противоположный:

\[ E(x, y_0(x), y_0'(x), p) \leq 0. \]

Геометрический смысл

Функция Вейерштрасса представляет собой разность между значением подынтегральной функции \( F \) в точке с произвольным наклоном \( p \) и значением линейной аппроксимации \( F \) по переменной \( y' \) в окрестности \( y_0' \). Если эта разность неотрицательна для всех \( p \), то график функции \( F(x, y, \cdot) \) лежит не ниже своей касательной в точке \( y_0' \), что соответствует выпуклости \( F \) по \( y' \). Таким образом, условие Вейерштрасса эквивалентно требованию выпуклости подынтегральной функции по производной вдоль экстремали.

Связь с другими условиями

Условие Лежандра

Условие Лежандра является частным случаем условия Вейерштрасса для бесконечно малых отклонений \( p \to y' \). Если разложить функцию Вейерштрасса в ряд Тейлора по \( p \) в окрестности \( y' \), то первым ненулевым членом будет:

\[ E(x, y, y', p) \approx \frac{1}{2} F_{y'y'}(x, y, y') (p - y')^2. \]

Отсюда следует, что для выполнения условия Вейерштрасса необходимо, чтобы \( F_{y'y'} \geq 0 \) (для минимума) или \( F_{y'y'} \leq 0 \) (для максимума). Это и есть условие Лежандра. Однако условие Вейерштрасса является более сильным, так как требует выпуклости не только в малом, но и для всех конечных значений \( p \).

Условие Якоби

Условие Якоби (отсутствие сопряжённых точек) связано с достаточными условиями слабого экстремума. Для сильного экстремума, помимо условия Якоби, необходимо выполнение условия Вейерштрасса. В классической теории вариационного исчисления полная система достаточных условий сильного минимума включает: уравнение Эйлера — Лагранжа, условие Лежандра (строгое), условие Якоби и условие Вейерштрасса (строгое).

Применение

Вариационное исчисление

Условие Вейерштрасса используется для отбраковки экстремалей, которые не могут быть точками сильного минимума. Например, в задаче о брахистохроне (кривой наискорейшего ската) подынтегральная функция \( F = \sqrt{(1 + y'^2)/y} \) выпукла по \( y' \), поэтому условие Вейерштрасса выполняется, и экстремаль (циклоида) действительно даёт минимум.

Оптимальное управление

В теории оптимального управления аналогом условия Вейерштрасса является принцип максимума Понтрягина. В этом контексте функция Вейерштрасса соответствует гамильтониану, а условие неотрицательности — требованию максимума гамильтониана по управлению. Принцип максимума был сформулирован Львом Понтрягиным и его учениками в 1950-х годах на основе идей Вейерштрасса.

Экономика и физика

В экономических моделях, где функционал представляет собой интегральную полезность или издержки, условие Вейерштрасса интерпретируется как условие выпуклости производственных функций. В физике оно применяется в вариационных принципах механики (принцип наименьшего действия), где выпуклость лагранжиана по скоростям обеспечивает устойчивость траекторий.

Пример

Рассмотрим функционал:

\[ J[y] = \int_0^1 (y'^2 - y^2) \, dx, \quad y(0) = 0, \quad y(1) = 0. \]

Уравнение Эйлера — Лагранжа даёт \( y'' + y = 0 \), откуда экстремаль \( y_0(x) = 0 \). Функция Вейерштрасса:

\[ E = p^2 - 0 - (p - 0) \cdot 2 \cdot 0 = p^2 \geq 0. \]

Условие Вейерштрасса выполняется для всех \( p \), следовательно, \( y_0(x) = 0 \) может быть точкой сильного минимума. Действительно, \( J[y] \geq 0 \) для любой допустимой функции, и минимум достигается на нулевой кривой.

Критика и ограничения

Условие Вейерштрасса является необходимым, но не достаточным для сильного экстремума. Для достаточности требуется строгое неравенство \( E > 0 \) для всех \( p \neq y' \), а также выполнение условия Якоби и отсутствие особых точек. Кроме того, проверка условия для всех конечных \( p \) может быть технически сложной, особенно для нелинейных функционалов. В некоторых задачах (например, с негладкими подынтегральными функциями) условие Вейерштрасса может не выполняться, но экстремум всё равно существует — в таких случаях применяют обобщённые методы, такие как теория обобщённых решений (слабая сходимость).

Интересные факты

• Карл Вейерштрасс ввёл это условие в рамках лекций, а не в отдельной публикации. Его ученики, в частности Адольф Гурвиц и Давид Гильберт, систематизировали и распространили эти идеи.
• Условие Вейерштрасса лежит в основе метода «полевых» доказательств в вариационном исчислении, разработанных Гильбертом.
• В современной теории оптимизации условие Вейерштрасса обобщается на бесконечномерные пространства и задачи с ограничениями.

Источники

• Вейерштрасс К. Лекции по вариационному исчислению (1879).
• Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Физматлит, 1961.
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.
• Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.