Вариограмма

Вариограмма — это функция, описывающая пространственную или временную зависимость между значениями случайного поля (региональной переменной) в зависимости от расстояния между точками измерения. Вариограмма является ключевым инструментом геостатистики, используемым для анализа структуры пространственной изменчивости данных, построения моделей корреляции и последующего интерполирования (крайгинга). В отличие от корреляционной функции, вариограмма характеризует дисперсию разности значений между парами точек.

История

Концепция вариограммы была впервые формально введена французским математиком и горным инженером Жоржем Матероном в 1960-х годах в рамках развития теории региональных переменных. Матерон обобщил эмпирические наблюдения южноафриканского инженера Дэниела Криге, который в 1950-х годах разработал метод оценки запасов руды на основе пространственной корреляции. Термин «вариограмма» происходит от латинского variare (изменяться) и греческого gramma (запись, изображение). Первоначально метод применялся исключительно в горном деле для оценки месторождений полезных ископаемых, но впоследствии распространился на экологию, почвоведение, метеорологию, гидрологию, эпидемиологию и другие области.

Определение и математическая формулировка

Пусть \( Z(x) \) — случайная функция, определённая в точках пространства \( x \in \mathbb{R}^n \). Вариограмма \( \gamma(h) \) определяется как половина математического ожидания квадрата разности значений функции в точках, разделённых вектором \( h \):

\[ \gamma(h) = \frac{1}{2} \mathbb{E}\left[ (Z(x+h) - Z(x))^2 \right] \]

где \( h \) — вектор сдвига (лаг), \( \mathbb{E} \) — оператор математического ожидания. Для стационарного случайного поля вариограмма зависит только от \( h \), а не от абсолютного положения \( x \). Если поле обладает изотропией, вариограмма зависит только от длины вектора \( |h| \), а не от его направления.

Свойства вариограммы

• Неотрицательность: \( \gamma(h) \geq 0 \) для всех \( h \).
• Симметричность: \( \gamma(h) = \gamma(-h) \).
• Начальное значение: \( \gamma(0) = 0 \) (по определению, разность значений в одной точке равна нулю).
• Монотонность: для многих моделей вариограмма является невозрастающей функцией от \( |h| \), но это не обязательное свойство.
• Связь с ковариационной функцией: для стационарного поля с ковариационной функцией \( C(h) \) выполняется соотношение: \( \gamma(h) = C(0) - C(h) \).

Эмпирическая вариограмма

На практике вариограмму оценивают по выборочным данным. Эмпирическая (экспериментальная) вариограмма \( \hat{\gamma}(h) \) вычисляется как среднее квадратов разностей между парами наблюдений, попадающих в заданный интервал расстояний (лаг-класс):

\[ \hat{\gamma}(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)} (Z(x_i) - Z(x_i + h))^2 \]

где \( N(h) \) — количество пар точек, расстояние между которыми попадает в интервал, соответствующий лагу \( h \). Для построения эмпирической вариограммы выбирают шаг лага (например, 10 метров) и максимальное расстояние, до которого считается вариограмма (обычно не более половины максимального расстояния между точками данных).

Компоненты вариограммы

Теоретическая модель вариограммы обычно описывается несколькими ключевыми параметрами:

• Самородок (nugget): значение вариограммы при \( h \to 0 \). Ненулевой самородок может быть вызван ошибками измерения, микромасштабной изменчивостью, не разрешаемой сетью наблюдений, или дискретностью данных. Обозначается \( C_0 \).
• Порог (sill): предельное значение вариограммы при \( h \to \infty \), соответствующее общей дисперсии поля \( C(0) \). Для стационарного поля вариограмма выходит на плато. Обозначается \( C_0 + C_1 \), где \( C_1 \) — вклад структурированной компоненты.
• Диапазон (range): расстояние, на котором вариограмма достигает порога (или 95% от него). За пределами диапазона значения поля считаются некоррелированными. Обозначается \( a \).

Модели вариограмм

Для аппроксимации эмпирической вариограммы используются теоретические модели, которые должны быть положительно определёнными функциями. Наиболее распространённые модели:

Сферическая модель

\[ \gamma(h) = \begin{cases} C_0 + C_1 \left( \frac{3h}{2a} - \frac{h^3}{2a^3} \right), & 0 \le h \le a \\ C_0 + C_1, & h > a \end{cases} \]

Характеризуется линейным ростом на малых расстояниях и выходом на плато. Широко используется в геологии и почвоведении.

Экспоненциальная модель

\[ \gamma(h) = C_0 + C_1 \left( 1 - e^{-h/a} \right) \]

Никогда не достигает порога строго, а асимптотически приближается к нему. Практический диапазон (95% порога) равен \( 3a \).

Гауссова модель

\[ \gamma(h) = C_0 + C_1 \left( 1 - e^{-h^2/a^2} \right) \]

Отличается параболическим поведением вблизи нуля, что указывает на очень гладкое поле. Используется для данных с высокой пространственной непрерывностью.

Модель с самородком

\[ \gamma(h) = C_0 + \gamma_{\text{структура}}(h) \]

Самородок добавляется к любой модели для учёта разрыва в начале координат.

Модель с эффектом дыры (hole effect)

\[ \gamma(h) = C_0 + C_1 \left( 1 - \frac{\sin(2\pi h / a)}{2\pi h / a} \right) \]

Используется для данных с периодической пространственной структурой, например, при чередовании слоёв пород.

Применение вариограммы

Геостатистическое моделирование

Вариограмма является основой для метода крайгинга — оптимального линейного интерполятора, минимизирующего дисперсию ошибки. Построив вариограмму, исследователь может оценить веса, с которыми соседние точки влияют на прогноз в неизмеренной точке.

Оценка запасов месторождений

В горном деле вариограмма используется для определения объёмов руды, содержания полезного компонента и планирования бурения. Она позволяет оценить, насколько далеко можно экстраполировать данные от скважины.

Экология и почвоведение

Вариограмма помогает анализировать пространственное распределение загрязнителей, содержания питательных веществ в почве, плотности популяций организмов. Например, при изучении концентрации тяжёлых металлов в почве вариограмма показывает, на каком расстоянии пробы перестают быть коррелированными.

Метеорология и климатология

При анализе полей осадков, температуры или давления вариограмма позволяет строить карты с учётом пространственной изменчивости и оптимизировать сеть метеостанций.

Гидрогеология

Вариограмма применяется для моделирования распределения проницаемости или пористости водоносных горизонтов, что важно для прогноза движения подземных вод.

Ограничения и критика

• Предположение стационарности: стандартная вариограмма требует, чтобы случайное поле было стационарным (среднее и дисперсия постоянны). На практике это часто не выполняется, и требуется предварительное удаление тренда (детрендинг).
• Чувствительность к выбросам: единичные аномальные значения могут сильно исказить эмпирическую вариограмму, особенно на малых лагах.
• Выбор параметров: шаг лага, максимальное расстояние и количество пар в классе влияют на форму вариограммы. Неудачный выбор может привести к неверной модели.
• Анизотропия: если поле не изотропно, требуется построение нескольких вариограмм по разным направлениям, что усложняет анализ.
• Вычислительная сложность: для больших наборов данных (сотни тысяч точек) вычисление всех пар может быть ресурсоёмким. Существуют методы аппроксимации (например, биннинг на сетке).

Интересные факты

• Вариограмма тесно связана с понятием фрактальной размерности: для самоподобных полей вариограмма ведёт себя как \( h^{2H} \), где \( H \) — показатель Хёрста.
• В некоторых областях, например в физике твёрдого тела, аналогом вариограммы является структурный фактор.
• Существуют многомерные вариограммы, учитывающие корреляцию между несколькими переменными (кокригинг).

Источники

• Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики. — М.: Мир, 1968.
• Криге Д. Г. Статистические методы оценки запасов рудных месторождений. — М.: Недра, 1975.
• Кейнс Р. Геостатистика: теория и практика. — М.: Наука, 1988.
• Webster R., Oliver M. A. Geostatistics for Environmental Scientists. — 2nd ed. — Wiley, 2007.
• Journel A. G., Huijbregts C. J. Mining Geostatistics. — Academic Press, 1978.
• Cressie N. Statistics for Spatial Data. — Wiley, 1993.