Вещественное число¶

Вещественное число — число, служащее для обозначения величины (длины, массы, времени, температуры и других физических величин) и для измерения количества. Множество вещественных чисел обозначается символом ℝ (от англ. real) и включает все рациональные и иррациональные числа. Вещественные числа образуют поле, упорядоченное по отношению «меньше», и являются основой математического анализа.

¶История возникновения

Понятие вещественного числа формировалось постепенно. Древние греки, начиная с пифагорейской школы (VI—V вв. до н. э.), столкнулись с числами, несоизмеримыми с единицей — так были открыты иррациональные числа. Легенда связывает гибель Гиппаса с открытием того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Пифагорейцы считали такие величины «непостижимыми» и не относили их к числам в собственном смысле.

Понятие непрерывной числовой прямой, заполненной вещественными числами без «дыр», было строго обосновано лишь в XIX веке. Ключевой вклад внесли Рихард Дедекинд (1872, сечение Дедекинда) и Георг Кантор (теория множеств, предельные точки). Эти работы позволили определить вещественные числа на строгой теоретико-множественной основе.

¶Определение

Существует несколько эквивалентных способов строгого определения вещественного числа:

1. Сечение Дедекинда. Вещественное число — это сечение (разбиение) множества рациональных чисел на два непустых класса A и B such that каждый элемент A меньше каждого элемента B.
2. Последовательность Коши. Вещественное число — это класс эквивалентных последовательностей рациональных чисел, сходящихся друг к другу (последовательности Коши).
3. Десятичная запись. Вещественное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби (например, 3.14159…, 0.333…).

Все три определения описывают одно и то же множество и приводят к одинаковой структуре.

¶Свойства

Множество вещественных чисел ℝ обладает следующими свойствами:

• Поле. Определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие аксиомам поля; каждое ненулевое число имеет обратное.
• Полное упорядоченное поле. Отношение «меньше» (<) транзитивно, и для любых двух чисел a и b всегда выполнено ровно одно из: a < b, a = b, a > b.
• Архимедово свойство. Для любых положительных a и b существует натуральное n такое, что na > b.
• Счётность. Множество ℝ несчётно — его мощность равна мощности континуума (2^ℵ₀). Это доказал Кантор в 1874 году с помощью диагонального аргумента.
• Полнота. Любая ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу; на этом свойстве строится теория пределов.

¶Классификация вещественных чисел

Вещественные числа делятся на две большие группы:

¶Рациональные числа

Числа, которые можно представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0. Обозначаются ℚ. К ним относятся конечные и периодические бесконечные дроби (например, 1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333…).

¶Иррациональные числа

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби целых. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры:

• √2 ≈ 1.41421356… (древнейшее известное иррациональное число);
• π ≈ 3.14159265… (число пи);
• e ≈ 2.71828182… (основание натурального логарифма);
• φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618… (золотое сечение).

Иррациональные числа, в свою очередь, делятся на алгебраические (корни многочленов с целыми коэффициентами, например √2) и трансцендентные (не являющиеся корнями таких многочленов — π, e). Трансцендентность π доказал Фердинанд фон Линдеманн в 1882 году.

¶Строение вещественной прямой

Вещественные числа можно геометрически интерпретировать как точки числовой прямой. Каждому вещественному числу соответствует ровно одна точка прямой, и наоборот. Это соответствие — основа аналитической геометрии, созданной Декартом и Ферма в XVII веке.

Промежутки на числовой прямой обозначаются:

¶Применение

Вещественные числа используются практически во всех областях математики и естественных наук:

• Математический анализ — пределы, производные, интегралы определяются на вещественной прямой.
• Физика — координаты, скорости, энергии, температуры выражаются вещественными числами.
• Инженерия и вычислительная техника — вещественная арифметика лежит в основе численных методов; в компьютерах вещественные числа представляются в виде чисел с плавающей запятой (стандарты IEEE 754).
• Экономика и статистика — измерения, вероятности, средние значения.

¶Связь с другими системами чисел

Вещественные числа являются расширением целых (ℤ) и рациональных (ℚ) и, в свою очередь, служат основой для построения комплексных чисел (ℂ = ℝ + iℝ), в которых к вещественной части добавляется мнимая единица i.

¶Интересные факты

• Иррациональность √2 была доказана ещё в V в. до н. э., но строгое определение иррационального числа появилось только в XIX веке.
• Теорема Гёделя о неполноте (1931) показала, что арифметика вещественных чисел не сводима к формальной системе с полным набором аксиом.
• Вещественные числа нельзя перечислить в виде списка — это было доказано Кантором с помощью метода вложенных интервалов и диагонального аргумента.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Кантор Г. Основания общей теории множеств.
• Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа.
• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
• Энциклопедический словарь: Математический анализ.