Вильгельм Аккерман

Вильгельм Аккерман (нем. Wilhelm Ackermann; 29 марта 1896, Шёнебек — 24 декабря 1962, Люденшайд) — немецкий математик, известный прежде всего работами в области математической логики и оснований математики. Его имя носит одна из важнейших вычислимых, но не примитивно рекурсивных функций — функция Аккермана.

Биография

Ранние годы и образование

Вильгельм Аккерман родился 29 марта 1896 года в городе Шёнебек (ныне земля Северный Рейн-Вестфалия, Германия). После окончания гимназии в 1914 году он поступил в Гёттингенский университет, где изучал математику, физику и философию. Его обучение было прервано Первой мировой войной, в которой он участвовал в качестве солдата. После войны Аккерман вернулся к учёбе и в 1924 году защитил докторскую диссертацию под руководством Давида Гильберта. Тема диссертации была посвящена непротиворечивости арифметики.

Карьера

После защиты диссертации Аккерман работал ассистентом Гильберта в Гёттингене. В 1929 году он получил хабилитацию (право преподавания) и стал приват-доцентом. В 1930-е годы, в связи с политической ситуацией в Германии, Аккерман, не являвшийся членом НСДАП, испытывал трудности с академической карьерой. С 1935 по 1945 год он преподавал в гимназии в городе Люденшайд, совмещая педагогическую работу с научными исследованиями. После Второй мировой войны, в 1948 году, Аккерман был назначен экстраординарным профессором Вестфальского университета имени Вильгельма в Мюнстере, где проработал до выхода на пенсию в 1961 году.

Наследие

Аккерман скончался 24 декабря 1962 года в Люденшайде. Его научное наследие, несмотря на относительно небольшой объём публикаций, оказало значительное влияние на развитие теории вычислимости и математической логики.

Научные достижения

Функция Аккермана

Наиболее известным результатом Аккермана является функция Аккермана — одна из простейших и первых открытых вычислимых, но не примитивно рекурсивных функций. В 1928 году Аккерман опубликовал работу, в которой показал, что существуют вычислимые функции, которые не могут быть получены с помощью примитивной рекурсии. Функция Аккермана растёт чрезвычайно быстро: для малых аргументов (например, A(4,2)) её значение уже превышает количество атомов в наблюдаемой Вселенной. Это открытие сыграло ключевую роль в теории рекурсивных функций и в доказательстве неполноты формальных систем.

Работы по основаниям математики

В 1928 году Аккерман совместно с Давидом Гильбертом опубликовал книгу «Основы теоретической логики» (нем. Grundzüge der theoretischen Logik), которая стала одним из первых и наиболее влиятельных учебников по математической логике. Книга выдержала несколько переизданий и была переведена на многие языки, включая русский. В ней были систематически изложены основы исчисления высказываний, исчисления предикатов и теория доказательств.

Проблема непротиворечивости

Значительная часть исследований Аккермана была посвящена проблеме непротиворечивости арифметики. В своей докторской диссертации (1924) он предпринял попытку доказать непротиворечивость арифметики, используя методы, разработанные Гильбертом. Хотя работа Аккермана содержала некоторые пробелы, она стала важным шагом в развитии программы Гильберта. Позднее, в 1940 году, Аккерман опубликовал работу, в которой предложил новый метод доказательства непротиворечивости для фрагментов арифметики.

Основные публикации

1. Ackermann, W. (1928). Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. Mathematische Annalen, 99, 118–133.
2. Ackermann, W. (1928). Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke. Mathematische Annalen, 100, 638–649.
3. Hilbert, D., & Ackermann, W. (1928). Grundzüge der theoretischen Logik. Springer. (Русский перевод: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. — М.: Издательство иностранной литературы, 1947.)
4. Ackermann, W. (1940). Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie. Mathematische Annalen, 117, 162–194.

Критика и влияние

Работы Аккермана, особенно функция Аккермана, оказали огромное влияние на развитие теории алгоритмов и теории вычислимости. Функция Аккермана используется в качестве стандартного примера вычислимой, но не примитивно рекурсивной функции, и её вариации применяются в анализе сложности алгоритмов. Книга «Основы теоретической логики» долгое время оставалась стандартным учебником по математической логике. В то же время, некоторые попытки Аккермана решить проблему непротиворечивости арифметики были подвергнуты критике за неполноту, что впоследствии было подтверждено теоремами Гёделя о неполноте.

Интересные факты

• Функция Аккермана часто используется в учебных курсах по теории вычислимости как пример функции, которая вычислима, но не является примитивно рекурсивной.
• В честь Аккермана назван кратер на Луне (кратер Аккерман).
• Несмотря на то, что Аккерман не был членом нацистской партии, он продолжал работать в Германии в годы нацизма, что было связано с определёнными компромиссами.

Источники

1. Wilhelm Ackermann. MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews.
2. Hilbert, D., & Ackermann, W. (1928). Grundzüge der theoretischen Logik. Springer.
3. Ackermann, W. (1928). Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. Mathematische Annalen, 99, 118–133.
4. Ackermann, W. (1940). Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie. Mathematische Annalen, 117, 162–194.
5. Клини, С. К. (1952). Введение в метаматематику. М.: Издательство иностранной литературы.