Ячейка Вигнера — Зейтца¶

Ячейка Вигнера — Зейтца — это фундаментальная область в обратном пространстве (пространстве обратной решётки) кристалла, которая представляет собой зону Бриллюэна. В прямом пространстве (пространстве кристаллической решётки) аналогичная конструкция называется примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца. Она является одним из способов выбора элементарной ячейки кристалла, обладающей свойством примитивности (содержит ровно один узел решётки) и максимальной симметрией, отражающей симметрию самой решётки.

¶Определение и построение

Ячейка Вигнера — Зейтца строится вокруг выбранного узла кристаллической решётки. Для этого проводятся плоскости, перпендикулярные отрезкам, соединяющим данный узел со всеми остальными узлами решётки, и делящие эти отрезки пополам. Область пространства, ограниченная этими плоскостями и содержащая выбранный узел, и есть ячейка Вигнера — Зейтца. Она представляет собой многогранник, форма которого определяется типом решётки Браве.

Ключевые свойства:

• Примитивность: ячейка содержит ровно один узел решётки (все остальные узлы находятся на границах или за её пределами).
• Заполнение пространства: совокупность ячеек Вигнера — Зейтца, построенных вокруг всех узлов решётки, полностью заполняет пространство без зазоров и перекрытий (является пространственной мозаикой, или паркетом).
• Симметрия: ячейка обладает точечной симметрией, соответствующей симметрии кристаллической решётки (точечной группе решётки).

¶История

Концепция была предложена в 1933 году американскими физиками Юджином Вигнером и Фредериком Зейтцем в рамках работы по расчёту электронной структуры твёрдых тел, в частности, для натрия. Они использовали эту ячейку для упрощения решения уравнения Шрёдингера в периодическом потенциале кристалла, заменив сложную задачу на задачу в одной ячейке с граничными условиями, следующими из периодичности.

¶Типы ячеек для различных решёток

Форма ячейки Вигнера — Зейтца зависит от типа кристаллической решётки. Для наиболее распространённых решёток Браве она представляет собой определённый многогранник:

¶Применение в физике твёрдого тела

Ячейка Вигнера — Зейтца является ключевым инструментом в физике конденсированного состояния, особенно в теории зонной структуры кристаллов.

¶Метод Вигнера — Зейтца (метод ячеек)

Это один из первых методов расчёта электронной структуры, основанный на приближении сильной связи. В этом методе:

1. Кристалл разбивается на ячейки Вигнера — Зейтца.
2. Потенциал внутри каждой ячейки аппроксимируется сферически-симметричным потенциалом (приближение «muffin-tin»).
3. Решается уравнение Шрёдингера для одной ячейки с граничными условиями, налагаемыми периодичностью решётки (условие Блоха).
4. Полученные волновые функции и энергии используются для построения зонной структуры.

Хотя метод Вигнера — Зейтца является приближённым и устарел для многих современных расчётов (уступив место более точным методам, таким как DFT), он сыграл важную роль в развитии физики твёрдого тела и до сих пор используется в некоторых учебных и исследовательских задачах.

¶Зона Бриллюэна

В обратном пространстве ячейка Вигнера — Зейтца называется первой зоной Бриллюэна. Она строится вокруг узла обратной решётки (начала координат в k-пространстве). Все точки внутри первой зоны Бриллюэна являются неэквивалентными волновыми векторами, описывающими электронные состояния в кристалле. Границы зоны Бриллюэна соответствуют условиям брэгговского отражения электронных волн, что приводит к образованию запрещённых зон в энергетическом спектре.

¶Приближение почти свободных электронов

В рамках этого приближения ячейка Вигнера — Зейтца (зона Бриллюэна) используется для определения границ, на которых происходит расщепление энергетических уровней свободных электронов под действием периодического потенциала решётки. Форма зоны Бриллюэна определяет топологию поверхности Ферми и многие транспортные свойства металлов.

¶Связь с другими понятиями

• Элементарная ячейка: Ячейка Вигнера — Зейтца является одним из возможных выборов элементарной ячейки, наряду с примитивной ячейкой (параллелепипедом, построенным на базисных векторах) и традиционной ячейкой (например, кубической для ГЦК). Главное отличие — ячейка Вигнера — Зейтца всегда обладает полной симметрией решётки, в то время как примитивная ячейка может иметь более низкую симметрию.
• Зона Бриллюэна: В обратном пространстве ячейка Вигнера — Зейтца называется зоной Бриллюэна. Это фундаментальное понятие для описания распространения волн (электронов, фононов, фотонов) в периодических структурах.

¶Интересные факты

• Форма ячейки Вигнера — Зейтца для ОЦК-решётки (усечённый октаэдр) является одной из оптимальных форм для заполнения пространства с минимальной площадью поверхности (проблема Кельвина). Эта форма используется в некоторых моделях пены и пористых материалов.
• В математике ячейка Вигнера — Зейтца известна как диаграмма Вороного для решётки. Она представляет собой многогранник Вороного, построенный для дискретного множества точек — узлов решётки.
• Понятие ячейки Вигнера — Зейтца обобщается на непериодические структуры, такие как квазикристаллы, где она может иметь сложную фрактальную форму.

¶Источники

1. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. — М.: Наука, 1978.
2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твёрдого тела. — М.: Мир, 1979.
3. Wigner E., Seitz F. On the Constitution of Metallic Sodium. Physical Review, 1933, vol. 43, p. 804.
4. Маделунг О. Физика твёрдого тела: локализованные состояния. — М.: Наука, 1985.
5. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твёрдых телах. — М.: Мир, 1971.