Закон арксинуса Феллера

Закон арксинуса Феллера — это совокупность утверждений в теории вероятностей, описывающих асимптотическое поведение траекторий случайных блужданий и, в частности, времени пребывания одной из сторон в выигрышной позиции в симметричных случайных процессах. Открыт американским математиком Уильямом Феллером в 1939 году. Закон демонстрирует, что в длинных сериях независимых испытаний с равновероятными исходами (например, подбрасывание монеты) наиболее вероятным является не равномерное распределение лидерства, а его крайне неравномерное распределение: одна из сторон может лидировать подавляющую часть времени.

История открытия

Закон арксинуса был сформулирован Уильямом Феллером в работе «The number of zeros and the number of returns of a random walk» (1939). Феллер исследовал свойства симметричного случайного блуждания — процесса, в котором на каждом шаге с равной вероятностью происходит приращение +1 или −1. Он показал, что распределение времени, в течение которого случайное блуждание находится выше нулевого уровня (то есть одна из сторон лидирует), подчиняется закону арксинуса, а не интуитивно ожидаемому нормальному распределению.

До работы Феллера в теории вероятностей господствовало представление, что в длинных сериях испытаний с равными шансами лидерство должно часто переходить от одной стороны к другой, а время пребывания каждой стороны в выигрышной позиции должно быть примерно одинаковым. Феллер математически доказал, что это не так: в длинных сериях наиболее вероятно, что одна из сторон будет лидировать почти всё время.

Математическая формулировка

Пусть \( S_n \) — симметричное случайное блуждание, начинающееся в нуле: \( S_0 = 0 \), и на каждом шаге \( S_n = S_{n-1} \pm 1 \) с вероятностью \( 1/2 \). Определим \( L_n \) как количество шагов (среди первых \( n \)), на которых \( S_k > 0 \) (строго положительно). Если \( S_k = 0 \), этот шаг не учитывается в \( L_n \) (или, в некоторых вариантах, учитывается как половина шага). Тогда для больших \( n \) распределение случайной величины \( L_n / n \) сходится к распределению с плотностью:

\[ f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}, \quad 0 < x < 1. \]

Это распределение называется распределением арксинуса, так как его функция распределения выражается через арксинус:

\[ F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin(\sqrt{x}), \quad 0 \le x \le 1. \]

Аналогичное утверждение справедливо для времени последнего возвращения блуждания в ноль, а также для числа шагов, на которых блуждание находится выше нуля.

Свойства распределения арксинуса

Распределение арксинуса имеет U-образную форму: его плотность минимальна в точке \( x = 0.5 \) и стремится к бесконечности при \( x \to 0 \) и \( x \to 1 \). Это означает, что вероятность того, что доля времени лидерства близка к 0 или 1, значительно выше, чем вероятность того, что она близка к 0.5.

Например, для \( n = 100 \) вероятность того, что одна из сторон лидирует более 90% времени (то есть \( L_n / n > 0.9 \) или \( L_n / n < 0.1 \)), составляет около 0,2, в то время как вероятность того, что лидерство распределено примерно поровну (например, \( 0.4 < L_n / n < 0.6 \)), составляет лишь около 0,07. Таким образом, в длинной серии подбрасываний монеты почти наверняка одна из сторон будет лидировать большую часть времени.

Применение и примеры

Подбрасывание монеты

Классический пример: при 1000 подбрасываниях симметричной монеты вероятность того, что одна из сторон (орёл или решка) будет лидировать более 950 раз, составляет около 0,05. Это контринтуитивно: интуиция подсказывает, что лидерство должно часто меняться, но закон арксинуса утверждает обратное.

Финансовые рынки

Закон арксинуса используется для анализа временных рядов цен активов. Если цена актива совершает случайное блуждание, то время, в течение которого цена находится выше начального уровня, также подчиняется закону арксинуса. Это объясняет, почему на рынках часто наблюдаются длительные периоды роста или падения, а не постоянные колебания.

Биология и экология

В моделях популяционной динамики закон арксинуса применяется для описания времени, в течение которого численность популяции превышает некоторый порог. Например, в модели случайного блуждания численности вида вероятность того, что популяция будет находиться выше среднего уровня более 90% времени, оказывается значительной.

Социология и психология

В исследованиях случайных процессов (например, распределение времени между событиями) закон арксинуса помогает объяснить, почему в долгосрочных экспериментах с равновероятными исходами наблюдаются «кластеры» успехов или неудач.

Критика и ограничения

Закон арксинуса справедлив только для симметричных случайных блужданий с нулевым сносом. Если вероятности шагов не равны (например, монета несимметрична), распределение времени лидерства меняется. В реальных процессах часто присутствует тренд (снос), что делает закон арксинуса неприменимым напрямую.

Кроме того, закон описывает асимптотическое поведение при \( n \to \infty \). Для малых \( n \) распределение может существенно отличаться. Например, при \( n = 10 \) вероятность того, что одна сторона лидирует все 10 шагов, равна \( 1/2^{10} \approx 0.001 \), что не соответствует асимптотической плотности.

Интересные факты

• Закон арксинуса иногда называют «парадоксом Феллера», так как он противоречит интуитивному представлению о «компенсации» в случайных процессах.
• Феллер также доказал, что число возвращений случайного блуждания в ноль за \( n \) шагов растёт как \( \sqrt{n} \), а не как \( n/2 \), что также связано с законом арксинуса.
• В 1950-х годах закон арксинуса был применён для анализа статистики спортивных матчей, в частности, для объяснения того, почему в длинных сериях игр (например, в бейсболе) одна команда может доминировать большую часть сезона.

Источники

• Feller, W. (1939). The number of zeros and the number of returns of a random walk. Annals of Mathematical Statistics, 10(3), 221–233.
• Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
• Ширяев, А. Н. (1980). Вероятность. М.: Наука.
• Гнеденко, Б. В., Хинчин, А. Я. (1946). Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: Гостехиздат.