Закон Гука для кручения

Закон Гука для кручения — это физический закон, устанавливающий линейную зависимость между моментом сил, приложенных к упругому телу (например, стержню или проволоке), и углом его закручивания в пределах упругой деформации. Является частным случаем общего закона Гука, применяемым к деформации кручения.

Определение и математическая формулировка

Закон Гука для кручения утверждает, что при малых деформациях кручения момент упругих сил \( M \), возникающий в закрученном теле, прямо пропорционален углу закручивания \( \varphi \):

\[ M = -k \varphi \]

где:

• \( M \) — момент упругих сил (крутящий момент), возникающий в теле;
• \( \varphi \) — угол закручивания (в радианах);
• \( k \) — коэффициент жёсткости при кручении (или крутильная жёсткость), зависящий от геометрии тела и свойств материала.

Знак «минус» указывает на то, что момент упругих сил направлен противоположно деформации (стремится вернуть тело в исходное положение).

Коэффициент жёсткости при кручении

Коэффициент жёсткости \( k \) является основной характеристикой, определяющей, насколько сильно тело сопротивляется закручиванию. Для цилиндрического стержня (или проволоки) круглого сечения коэффициент жёсткости вычисляется по формуле:

\[ k = \frac{G \cdot I_p}{l} \]

где:

• \( G \) — модуль сдвига (модуль упругости второго рода) материала, Па;
• \( I_p \) — полярный момент инерции поперечного сечения стержня, м⁴;
• \( l \) — длина стержня, м.

Для стержня круглого сечения полярный момент инерции равен:

\[ I_p = \frac{\pi d^4}{32} \]

где \( d \) — диаметр стержня.

Таким образом, жёсткость при кручении прямо пропорциональна модулю сдвига материала и четвёртой степени диаметра и обратно пропорциональна длине стержня.

Физический смысл и пределы применимости

Закон Гука для кручения, как и общий закон Гука, справедлив только для упругих деформаций, то есть деформаций, которые полностью исчезают после снятия нагрузки. При превышении предела упругости материала (точки текучести) зависимость перестаёт быть линейной, и возникают пластические (остаточные) деформации.

Закон выполняется для малых углов закручивания, когда деформации в каждой точке тела остаются малыми и не превышают предела пропорциональности материала. Для большинства металлов и сплавов это условие соблюдается при углах закручивания, не превышающих нескольких градусов на метр длины.

Связь с другими величинами

Закон Гука для кручения тесно связан с понятием модуля сдвига \( G \), который характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига. Модуль сдвига связан с модулем Юнга \( E \) и коэффициентом Пуассона \( \nu \) соотношением:

\[ G = \frac{E}{2(1 + \nu)} \]

Для изотропных материалов (например, для большинства металлов) модуль сдвига составляет примерно 0,4 от модуля Юнга.

Применение

Крутильные весы

Закон Гука для кручения лежит в основе работы крутильных весов — приборов для измерения малых сил, впервые использованных Генри Кавендишем в 1798 году для определения гравитационной постоянной. В таких весах тонкая упругая нить или проволока закручивается под действием измеряемой силы, а угол закручивания измеряется с высокой точностью.

Крутильный маятник

Крутильный маятник — механическая система, в которой тело (например, диск) подвешено на упругой нити или стержне. При отклонении от положения равновесия возникает момент упругих сил, пропорциональный углу закручивания, что приводит к гармоническим колебаниям. Период колебаний крутильного маятника определяется формулой:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} \]

где \( I \) — момент инерции тела относительно оси вращения, \( k \) — коэффициент жёсткости при кручении. Крутильные маятники используются в часах, гироскопах и для измерения моментов инерции.

Валы и трансмиссии

В машиностроении закон Гука для кручения применяется при расчёте валов, осей и других деталей, работающих на кручение. Знание жёсткости при кручении позволяет определить углы закручивания валов под нагрузкой и обеспечить их прочность и долговечность.

Измерение вязкости

В реологии и физической химии крутильные колебания используются для измерения вязкости жидкостей. В таких приборах (например, в вискозиметрах с крутильным маятником) затухание колебаний зависит от вязкости среды, в которую погружено колеблющееся тело.

История

Закон Гука для кручения, как и общий закон упругости, был сформулирован английским учёным Робертом Гуком в 1660 году. Однако первоначально Гук исследовал деформации растяжения и сжатия. Применение закона к кручению было развито позднее, в XVIII–XIX веках, в работах Шарля Кулона (крутильные весы) и других учёных. Кулон в 1785 году использовал крутильные весы для измерения электрических сил, что подтвердило универсальность закона.

Примеры

Пример 1: Расчёт жёсткости стальной проволоки

Стальная проволока диаметром 1 мм и длиной 1 м имеет модуль сдвига \( G = 80 \times 10^9 \) Па. Полярный момент инерции:

\[ I_p = \frac{\pi (0,001)^4}{32} \approx 9,82 \times 10^{-14} \text{ м}^4 \]

Коэффициент жёсткости:

\[ k = \frac{80 \times 10^9 \times 9,82 \times 10^{-14}}{1} \approx 7,86 \times 10^{-3} \text{ Н·м/рад} \]

Пример 2: Угол закручивания вала

Стальной вал диаметром 50 мм и длиной 2 м нагружен крутящим моментом 1000 Н·м. Модуль сдвига стали \( G = 80 \times 10^9 \) Па. Полярный момент инерции:

\[ I_p = \frac{\pi (0,05)^4}{32} \approx 6,14 \times 10^{-7} \text{ м}^4 \]

Жёсткость:

\[ k = \frac{80 \times 10^9 \times 6,14 \times 10^{-7}}{2} \approx 2,46 \times 10^4 \text{ Н·м/рад} \]

Угол закручивания:

\[ \varphi = \frac{M}{k} = \frac{1000}{2,46 \times 10^4} \approx 0,0407 \text{ рад} \approx 2,33^\circ \]

Интересные факты

• Закон Гука для кручения используется в конструкции механических часов: балансир (крутильный маятник) обеспечивает точность хода.
• Крутильные весы Кулона позволили экспериментально подтвердить закон Кулона для электрических зарядов.
• В современной технике закон применяется при расчёте торсионных подвесок автомобилей и танков.
• Для нецилиндрических стержней (например, прямоугольного сечения) расчёт жёсткости при кручении сложнее и требует учёта формы сечения.

Источники

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 1. Механика. — М.: Наука, 1979.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.
• Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007.
• Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975.