Закон Гука

Закон Гука — это физический закон, утверждающий, что в упругом теле деформация (изменение формы или объёма) прямо пропорциональна приложенному механическому напряжению, при условии, что это напряжение не превышает предела упругости материала. Закон является фундаментальным для механики деформируемого твёрдого тела и широко применяется в инженерных расчётах, строительстве, машиностроении и материаловедении.

История открытия

Предпосылки

До XVII века изучение упругости носило эмпирический характер. Древнегреческие учёные, в частности Архимед, исследовали равновесие твёрдых тел, но не формулировали количественных законов деформации. В эпоху Возрождения Леонардо да Винчи проводил эксперименты с растяжением проволок, однако его работы остались неопубликованными.

Открытие Роберта Гука

Закон был сформулирован английским физиком и изобретателем Робертом Гуком в 1660 году. Первоначально Гук представил его в виде анаграммы (лат. «ceiiinosssttuv»), которую расшифровал в 1678 году как «Ut tensio, sic vis» — «Каково растяжение, такова сила». В своём трактате «De Potentia Restitutiva» («О восстанавливающей силе») Гук описал серию опытов с пружинами, проволоками и деревянными балками, показав линейную зависимость между приложенной силой и удлинением.

Развитие теории

В XVIII—XIX веках закон Гука был обобщён на случай трёхмерных деформаций. Леонард Эйлер и Огюстен Луи Коши разработали математический аппарат теории упругости, в котором закон Гука выражается через тензоры напряжений и деформаций. В 1822 году Коши опубликовал обобщённую формулировку для изотропных и анизотропных материалов.

Математическая формулировка

Простейшая форма (для одномерного растяжения/сжатия)

Для стержня или пружины закон Гука записывается как: \[ F = -k \cdot \Delta x \] где:

• \(F\) — сила упругости, возникающая в деформированном теле (Н);
• \(k\) — коэффициент жёсткости (или упругости) тела (Н/м);
• \(\Delta x\) — абсолютное удлинение (или сжатие) тела (м).

Знак минус указывает на то, что сила упругости направлена противоположно смещению (стремится вернуть тело в исходное положение).

Через механическое напряжение и относительную деформацию

Для сплошных сред закон Гука записывается в виде: \[ \sigma = E \cdot \varepsilon \] где:

• \(\sigma\) — механическое напряжение (Па, Н/м²);
• \(E\) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), характеризующий жёсткость материала (Па);
• \(\varepsilon\) — относительная деформация (безразмерная величина, \(\varepsilon = \Delta l / l_0\)).

Обобщённый закон Гука (для трёхмерного случая)

В теории упругости для изотропного материала связь между компонентами тензора напряжений \(\sigma_{ij}\) и тензора деформаций \(\varepsilon_{kl}\) выражается через два независимых параметра — модуль Юнга \(E\) и коэффициент Пуассона \(\nu\): \[ \varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{ij} - \frac{\nu}{E} \sigma_{kk} \delta_{ij} \] где \(\sigma_{kk}\) — след тензора напряжений, \(\delta_{ij}\) — символ Кронекера.

Для анизотропных материалов (например, кристаллов, композитов) закон Гука принимает более сложную форму с использованием тензора упругости четвёртого ранга \(C_{ijkl}\).

Физический смысл и границы применимости

Предел упругости

Закон Гука справедлив только в области упругих деформаций. Если напряжение превышает предел упругости (характерный для каждого материала), деформация становится пластической (необратимой), и линейная зависимость нарушается. Для большинства металлов предел упругости составляет 0,1–0,5 % от модуля Юнга.

Предел пропорциональности

Близкое понятие — предел пропорциональности — максимальное напряжение, при котором ещё выполняется линейная зависимость между напряжением и деформацией. Для многих материалов он практически совпадает с пределом упругости.

Нелинейные эффекты

При больших деформациях (например, для резины, полимеров, биологических тканей) закон Гука не выполняется. Такие материалы описываются нелинейными моделями (например, законом Муни-Ривлина или моделями гиперупругости).

Коэффициент жёсткости и модуль упругости

Коэффициент жёсткости \(k\)

Зависит от геометрии тела и свойств материала: \[ k = \frac{E \cdot S}{l_0} \] где:

• \(S\) — площадь поперечного сечения (м²);
• \(l_0\) — начальная длина тела (м).

Модуль Юнга \(E\)

Характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию. Значения для некоторых материалов:

• Сталь: 190–210 ГПа;
• Алюминий: 70 ГПа;
• Древесина (вдоль волокон): 10–15 ГПа;
• Резина: 0,001–0,01 ГПа.

Коэффициент Пуассона \(\nu\)

Описывает поперечное сжатие при продольном растяжении. Для большинства металлов \(\nu \approx 0.3\), для резины \(\nu \approx 0.5\) (несжимаемый материал).

Применение

В машиностроении и строительстве

• Расчёт пружин, рессор, амортизаторов.
• Проектирование балок, колонн, мостов (расчёт прогибов и напряжений).
• Подбор материалов для упругих элементов (например, мембран, сильфонов).

В измерительной технике

• Динамометры, силоизмерители (работают на основе пропорциональности деформации и силы).
• Тензодатчики (измерение деформации для определения напряжений).

В геофизике и сейсмологии

• Моделирование распространения сейсмических волн в упругой среде (закон Гука лежит в основе волнового уравнения).

В биомеханике

• Описание упругих свойств костей, сухожилий, кровеносных сосудов (в рамках линейной модели для малых деформаций).

Примеры задач

Пример 1

Пружина жёсткостью \(k = 1000\) Н/м растянута на 0,05 м. Сила упругости: \[ F = 1000 \cdot 0,05 = 50 \text{ Н} \]

Пример 2

Стальной стержень длиной 2 м и сечением 0,001 м² растягивается силой 10⁴ Н. Модуль Юнга стали \(E = 2 \times 10^{11}\) Па. Напряжение: \[ \sigma = \frac{10^4}{0,001} = 10^7 \text{ Па} \] Относительная деформация: \[ \varepsilon = \frac{10^7}{2 \times 10^{11}} = 5 \times 10^{-5} \] Абсолютное удлинение: \[ \Delta l = 5 \times 10^{-5} \times 2 = 0,0001 \text{ м} = 0,1 \text{ мм} \]

Критика и ограничения

• Закон Гука является линейным приближением и не описывает поведение материалов при больших деформациях, пластическом течении, разрушении.
• Для композитных и пористых материалов (например, пенопластов, бетона) закон может нарушаться из-за неоднородности структуры.
• В динамических процессах (удар, вибрация) могут проявляться вязкоупругие свойства, не учитываемые классическим законом Гука.

Интересные факты

• Роберт Гук открыл закон, экспериментируя с пружинами, изготовленными из часовой проволоки. Он подвешивал к ним грузы и измерял удлинение.
• Закон Гука является частным случаем более общего закона упругости, который для малых деформаций выводится из разложения потенциальной энергии в ряд Тейлора.
• В кристаллографии закон Гука используется для расчёта упругих постоянных кристаллов, которые определяют скорость звука в них.

Источники

1. Гук Р. «De Potentia Restitutiva» (1678).
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теория упругости» (том 7 курса теоретической физики).
3. Тимошенко С. П. «История науки о сопротивлении материалов».
4. Феодосьев В. И. «Сопротивление материалов».
5. Encyclopaedia Britannica, статья «Hooke’s law».