Закон Планка¶

Закон Планка — это физическая формула, описывающая спектральную плотность энергетической светимости (излучательной способности) абсолютно чёрного тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, в зависимости от температуры и частоты (или длины волны) излучения. Закон был выведен немецким физиком Максом Планком в 1900 году и стал одним из краеугольных камней квантовой физики, положив начало представлению о дискретности энергии.

¶История открытия

¶Кризис классической физики

К концу XIX века классическая физика столкнулась с серьёзной проблемой при описании теплового излучения. Экспериментальные данные, полученные для спектральной плотности излучения абсолютно чёрного тела, не соответствовали теоретическим предсказаниям. Закон Рэлея — Джинса, основанный на классической статистической механике, предсказывал неограниченный рост интенсивности излучения в коротковолновой области (ультрафиолетовая катастрофа). Формула Вина, хотя и хорошо описывала коротковолновую часть спектра, давала неверные результаты для длинных волн. Необходима была теория, которая бы объединила оба предельных случая.

¶Работа Макса Планка

В 1900 году Макс Планк, работая в Берлинском университете, занялся проблемой вывода теоретической формулы, которая бы точно соответствовала экспериментальным данным. Он начал с эмпирической интерполяции, предложенной ранее, и 19 октября 1900 года представил на заседании Немецкого физического общества свою формулу, которая блестяще совпала с измерениями.

Однако Планк не был удовлетворён простой подгонкой. Он стремился найти физическое обоснование. Для этого он использовал статистический подход Больцмана, рассматривая излучение как результат колебаний гипотетических осцилляторов в стенках полости абсолютно чёрного тела. Чтобы получить правильную формулу, Планк был вынужден сделать революционное предположение: энергия этих осцилляторов не может быть произвольной, а принимает только дискретные значения, кратные некоторой фундаментальной величине — кванту действия. 14 декабря 1900 года он представил полное теоретическое обоснование, которое сегодня считается датой рождения квантовой физики.

¶Математическая формулировка

Закон Планка может быть записан в двух эквивалентных формах: через частоту ν и через длину волны λ.

¶Форма для частоты

Спектральная плотность энергетической светимости (мощность излучения с единицы площади на единицу частоты) для абсолютно чёрного тела при температуре T выражается как:

\[ B_\nu(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \]

Где:

• \( B_\nu \) — спектральная плотность (Вт·м⁻²·Гц⁻¹);
• \( h \) — постоянная Планка (6,62607015×10⁻³⁴ Дж·с);
• \( \nu \) — частота излучения (Гц);
• \( c \) — скорость света в вакууме (≈ 2,998×10⁸ м/с);
• \( k \) — постоянная Больцмана (1,380649×10⁻²³ Дж/К);
• \( T \) — абсолютная температура (К).

¶Форма для длины волны

Спектральная плотность, выраженная через длину волны, имеет вид:

\[ B_\lambda(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} \]

Где \( \lambda \) — длина волны (м). Важно отметить, что эти две формы не являются простым пересчётом: \( B_\lambda d\lambda = B_\nu d\nu \).

¶Физический смысл и следствия

¶Дискретность энергии

Ключевое нововведение Планка — гипотеза о том, что энергия осциллятора может принимать только значения, кратные \( h\nu \). Величина \( h \) — квант действия — оказалась фундаментальной константой природы. Энергия излучения испускается и поглощается не непрерывно, а порциями — квантами. Это противоречило классической физике, где энергия считалась непрерывной величиной.

¶Предельные случаи

Закон Планка включает в себя более старые законы как предельные случаи:

• Закон Рэлея — Джинса: при малых частотах (\( h\nu \ll kT \)) экспоненту можно разложить в ряд, и формула Планка переходит в классический закон, предсказывающий пропорциональность \( \nu^2 \).
• Закон Вина: при больших частотах (\( h\nu \gg kT \)) единицей в знаменателе можно пренебречь, и формула переходит в закон смещения Вина, описывающий коротковолновую часть спектра.

¶Закон смещения Вина

Из закона Планка можно вывести, что длина волны, на которую приходится максимум излучения, обратно пропорциональна температуре: \( \lambda_{max} = b / T \), где \( b \approx 2,898 \times 10^{-3} \) м·К. Это объясняет, почему нагретые тела меняют цвет: от красного (низкая температура) к жёлтому и белому (высокая температура).

¶Закон Стефана — Больцмана

Интегрирование закона Планка по всем частотам даёт полную энергетическую светимость абсолютно чёрного тела, которая пропорциональна четвёртой степени температуры: \( j = \sigma T^4 \), где \( \sigma \) — постоянная Стефана — Больцмана.

¶Применение

¶Астрофизика

Закон Планка является основным инструментом для определения температуры звёзд и других космических объектов. Спектр излучения звезды, близкий к спектру абсолютно чёрного тела, позволяет по положению максимума вычислить её эффективную температуру. Например, температура поверхности Солнца (около 5778 K) определяется именно по этому закону.

¶Техника и физика

• Тепловидение: инфракрасные камеры регистрируют излучение тел и по закону Планка вычисляют их температуру.
• Пирометрия: бесконтактное измерение температуры расплавленных металлов, пламени и других объектов.
• Светотехника: расчёт спектральных характеристик ламп накаливания и светодиодов.
• Космология: реликтовое излучение (микроволновый фон Вселенной) с высокой точностью описывается законом Планка для температуры 2,725 K, что является одним из главных подтверждений теории Большого взрыва.

¶Значение для физики

Закон Планка стал первым шагом к созданию квантовой механики. Он ввёл в физику понятие квантования энергии, которое впоследствии было развито Альбертом Эйнштейном (фотоэффект), Нильсом Бором (модель атома) и другими учёными. Постоянная Планка \( h \) является одной из фундаментальных констант, определяющих масштаб квантовых явлений. За открытие закона Макс Планк был удостоен Нобелевской премии по физике в 1918 году.

¶Интересные факты

• Сам Планк первоначально считал свою гипотезу о квантах лишь математическим приёмом и не придавал ей глубокого физического смысла. Реальность квантов была признана только после работ Эйнштейна (1905).
• Формула Планка позволяет рассчитать, что при комнатной температуре (300 K) максимум излучения приходится на инфракрасный диапазон (около 10 мкм), что объясняет, почему человеческое тело не светится видимым светом.
• В 2019 году постоянная Планка была зафиксирована как точное значение в определении килограмма через Международную систему единиц (СИ).

¶Источники

1. Планк М. «О законе распределения энергии в нормальном спектре» (1900).
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика. Часть 1».
3. Сивухин Д. В. «Общий курс физики. Том 4. Оптика».
4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике. Том 3. Излучение, волны, кванты».