Звёздчатые многогранники¶

Звёздчатые многогранники — это класс невыпуклых многогранников, грани которых являются звёздчатыми многоугольниками или образованы путём продолжения (звездчатости) граней и рёбер выпуклых многогранников. В отличие от выпуклых многогранников, у звёздчатых форм часть вершин, рёбер или граней может быть расположена внутри фигуры, а внешняя оболочка имеет характерную «звездообразную» форму с выступающими лучами. Наиболее известными представителями являются четыре правильных звёздчатых многогранника Кеплера — Пуансо, а также многочисленные звёздчатые формы икосододекаэдра и других архимедовых тел.

¶История

Изучение звёздчатых многогранников восходит к античности. Первые изображения звёздчатых фигур встречаются в работах древнегреческих математиков, однако систематическое исследование началось в эпоху Возрождения. В 1619 году немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей книге «Harmonices Mundi» описал два правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Кеплер рассматривал их как звёздчатые формы правильного додекаэдра, полученные путём продолжения его граней.

В 1809 году французский математик Луи Пуансо открыл ещё два правильных звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр. В 1812 году Огюстен Луи Коши доказал, что эти четыре фигуры исчерпывают все возможные правильные звёздчатые многогранники (то есть многогранники, у которых все грани являются правильными звёздчатыми многоугольниками и все вершины эквивалентны). В честь первооткрывателей они получили название многогранников Кеплера — Пуансо.

В XX веке интерес к звёздчатым формам возрос благодаря работам математика Гарольда Коксетера, который систематизировал звёздчатые формы икосододекаэдра и других полуправильных тел. В 1970-х годах американский скульптор и математик Джордж Харт создал компьютерные модели и физические прототипы многих звёздчатых многогранников, популяризировав их в научно-популярной литературе.

¶Классификация

Звёздчатые многогранники классифицируются по нескольким признакам:

¶По правильности

• Правильные звёздчатые многогранники (многогранники Кеплера — Пуансо) — четыре фигуры, у которых все грани являются правильными звёздчатыми многоугольниками (пентаграммами) и все вершины равноценны. К ним относятся:
• Малый звёздчатый додекаэдр (12 граней-пентаграмм, 12 вершин, 30 рёбер).
• Большой звёздчатый додекаэдр (12 граней-пентаграмм, 20 вершин, 30 рёбер).
• Большой додекаэдр (12 граней-пентаграмм, 20 вершин, 30 рёбер).
• Большой икосаэдр (20 граней-треугольников, 12 вершин, 30 рёбер).
• Полуправильные звёздчатые многогранники — фигуры, полученные звёздчатостью архимедовых тел (например, звёздчатые формы икосододекаэдра). Они имеют несколько типов граней, но сохраняют определённую симметрию.

¶По способу образования

• Звёздчатые формы выпуклых многогранников — образуются путём продолжения граней, рёбер или вершин исходного выпуклого многогранника до пересечения с другими элементами. Например, звёздчатый октаэдр (также известный как stella octangula) получается из октаэдра.
• Самопересекающиеся многогранники — фигуры, у которых грани пересекаются друг с другом, создавая внутренние полости и сложную топологию. К ним относятся все правильные звёздчатые многогранники.

¶По симметрии

Звёздчатые многогранники могут обладать симметрией тетраэдра, октаэдра или икосаэдра (группы симметрии правильных многогранников). Наиболее симметричными являются правильные звёздчатые формы, относящиеся к икосаэдрической группе симметрии (Ih).

¶Свойства и характеристики

Звёздчатые многогранники обладают рядом уникальных геометрических свойств:

• Эйлерова характеристика: Для правильных звёздчатых многогранников формула Эйлера (V − E + F) может принимать значения, отличные от 2, характерного для выпуклых многогранников. Например, для малого звёздчатого додекаэдра V=12, E=30, F=12, что даёт характеристику −6.
• Двойственность: Правильные звёздчатые многогранники образуют двойственные пары. Малый звёздчатый додекаэдр двойственен большому додекаэдру, а большой звёздчатый додекаэдр — большому икосаэдру.
• Звёздчатость: Процесс звёздчатости может быть продолжен многократно, порождая всё более сложные фигуры. Например, из икосододекаэдра можно получить 19 звёздчатых форм, включая такие известные, как «звёздчатый икосододекаэдр» и «звёздчатый триаконтаэдр».
• Плотность: Для звёздчатых многогранников вводится понятие плотности — количество оборотов, которое делает поверхность фигуры вокруг центра. Для правильных звёздчатых многогранников плотность равна 3 или 7.

¶Примеры

¶Stella octangula (звёздчатый октаэдр)

Это одна из простейших звёздчатых форм, представляющая собой соединение двух тетраэдров, вписанных друг в друга. Она была известна ещё в античности и описана в трудах Паппа Александрийского. Stella octangula образуется путём продолжения граней октаэдра до пересечения.

¶Звёздчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 20 треугольников и 12 пятиугольников. Его звёздчатые формы, систематизированные Коксетером, включают 19 различных фигур, среди которых:

• Звёздчатый икосододекаэдр — фигура с 20 треугольными и 12 пятиугольными гранями, образующими звездообразные выступы.
• Звёздчатый триаконтаэдр — многогранник с 30 ромбическими гранями, полученный из икосододекаэдра.

¶Другие звёздчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных форм, существуют звёздчатые варианты куба, октаэдра, додекаэдра и других тел. Например, звёздчатый куб (также известный как кубоктаэдр) образуется путём продолжения граней куба.

¶Применение

Звёздчатые многогранники находят применение в различных областях:

• Математика и геометрия: Они служат объектами для изучения топологии, теории групп и комбинаторной геометрии. Звёздчатые формы используются в задачах о разбиении пространства и в теории многогранников.
• Архитектура и дизайн: Формы звёздчатых многогранников вдохновляют архитекторов при создании куполов, сводов и декоративных элементов. Например, звёздчатые формы встречаются в готических соборах и в современной архитектуре (здания в стиле хай-тек).
• Искусство и скульптура: Многие скульпторы, такие как Джордж Харт и Брент Коллинз, создают физические модели звёздчатых многогранников из металла, дерева или пластика. Эти работы выставляются в музеях и галереях.
• Образование: Модели звёздчатых многогранников используются в школах и университетах для наглядного изучения стереометрии и симметрии.
• Кристаллография: Некоторые кристаллы, например, пирит, образуют звёздчатые формы, напоминающие многогранники Кеплера — Пуансо.

¶Интересные факты

• В 2019 году в честь 400-летия открытия Кеплером звёздчатых многогранников была выпущена памятная монета в Германии.
• Звёздчатые многогранники часто используются в качестве логотипов и символов в науке и культуре. Например, малый звёздчатый додекаэдр изображён на эмблеме Международного математического союза.
• В компьютерной графике звёздчатые многогранники применяются для создания сложных трёхмерных моделей и анимаций.

¶Источники

• Коксетер Г. С. М. «Введение в геометрию», 1969.
• Веннинджер М. «Модели многогранников», 1974.
• Cromwell P. R. «Polyhedra», 1997.
• Hart G. W. «Zonohedra and Zonotopes», 1999.
• Энциклопедия «Математика и её приложения», 2010.