Открыть сервис
Главная → Блог → Многогранники Кеплера — Пуансо

Многогранники Кеплера — Пуансо

Многогранники Кеплера — Пуансо — это четыре правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранника, которые, наряду с пятью выпуклыми телами Платона, являются единственными правильными многогранниками в трёхмерном евклидовом пространстве. Они обладают всеми признаками правильности: все их грани являются правильными многоугольниками (звёздчатыми или выпуклыми), все многогранные углы при вершинах конгруэнтны, а сами многогранники имеют высокую степень симметрии. Открытие этих фигур связано с именами немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (в начале XVII века) и французского математика и инженера Луи Пуансо (в начале XIX века).

История открытия

Предыстория

Долгое время считалось, что существует только пять правильных выпуклых многогранников — платоновых тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Вопрос о существовании правильных невыпуклых многогранников оставался открытым, хотя отдельные звёздчатые формы, например, звезда, встречались в архитектуре и орнаментах древних цивилизаций.

Вклад Иоганна Кеплера

В 1619 году в своей книге «Гармония мира» (лат. Harmonices Mundi) Иоганн Кеплер впервые описал два правильных звёздчатых многогранника. Он получил их путём продолжения (звёздчатого расширения) граней правильного додекаэдра и икосаэдра. Кеплер назвал их:

  • Малый звёздчатый додекаэдр (лат. Stella octangula — «восьмиугольная звезда», хотя этот термин впоследствии закрепился за другой фигурой).
  • Большой звёздчатый додекаэдр (также известен как «звёздчатый додекаэдр»).

Кеплер рассматривал эти многогранники как часть своей космологической модели, связывая их с орбитами планет.

Вклад Луи Пуансо

В 1809 году французский математик Луи Пуансо в своей работе «О многоугольниках и многогранниках» (фр. Sur les polygones et les polyèdres) систематически исследовал правильные звёздчатые многогранники. Он независимо переоткрыл два многогранника Кеплера и добавил к ним ещё два:

  • Большой додекаэдр (или «большой додекаэдр»).
  • Большой икосаэдр.

Пуансо доказал, что эти четыре фигуры являются единственно возможными правильными невыпуклыми многогранниками, удовлетворяющими определению правильности (все грани — правильные многоугольники, все вершины — одинаковы).

Доказательство полноты

В 1810 году Огюстен Луи Коши, используя теорию многогранников, строго доказал, что кроме пяти платоновых тел и четырёх многогранников Кеплера — Пуансо, других правильных многогранников в трёхмерном пространстве не существует. Это доказательство основывалось на анализе возможных комбинаций правильных многоугольников (включая звёздчатые) вокруг вершины.

Классификация и свойства

Все четыре многогранника Кеплера — Пуансо являются звёздчатыми (невыпуклыми). Они могут быть получены двумя способами:

  1. Звёздчатое расширение (stellation) — продолжение граней платоновых тел до пересечения, что приводит к образованию новых вершин и рёбер.
  2. Фасетирование (faceting) — удаление частей выпуклого многогранника и соединение его вершин новыми рёбрами, образующими звёздчатые грани.

Малый звёздчатый додекаэдр

  • Обозначение по Шлефли: {5/2, 5}
  • Грани: 12 правильных пентаграмм (звёздчатых пятиугольников).
  • Вершины: 12 (каждая — вершина правильного икосаэдра).
  • Рёбра: 30.
  • Двойственный многогранник: Большой додекаэдр.
  • Свойства: Имеет ту же комбинаторную структуру, что и икосаэдр (12 вершин, 30 рёбер, 12 граней), но грани — звёздчатые. Внутри него можно вписать выпуклый додекаэдр.

Большой звёздчатый додекаэдр

  • Обозначение по Шлефли: {5/2, 3}
  • Грани: 12 правильных пентаграмм.
  • Вершины: 20 (каждая — вершина правильного додекаэдра).
  • Рёбра: 30.
  • Двойственный многогранник: Большой икосаэдр.
  • Свойства: Комбинаторно эквивалентен додекаэдру (20 вершин, 30 рёбер, 12 граней). Его вершины совпадают с вершинами выпуклого додекаэдра.

Большой додекаэдр

  • Обозначение по Шлефли: {5, 5/2}
  • Грани: 12 правильных выпуклых пятиугольников.
  • Вершины: 12 (каждая — вершина икосаэдра).
  • Рёбра: 30.
  • Двойственный многогранник: Малый звёздчатый додекаэдр.
  • Свойства: Внешне похож на звёздчатый додекаэдр, но его грани — выпуклые пятиугольники, которые пересекаются друг с другом, образуя самопересечения. Внутри него можно выделить вписанный икосаэдр.

Большой икосаэдр

  • Обозначение по Шлефли: {3, 5/2}
  • Грани: 20 правильных треугольников.
  • Вершины: 12 (каждая — вершина додекаэдра).
  • Рёбра: 30.
  • Двойственный многогранник: Большой звёздчатый додекаэдр.
  • Свойства: Комбинаторно эквивалентен икосаэдру (20 граней, 12 вершин, 30 рёбер). Его грани — треугольники, которые пересекаются, образуя звёздчатую структуру. Является звёздчатой формой икосаэдра.

Симметрия и группа

Все четыре многогранника Кеплера — Пуансо обладают икосаэдральной симметрией (группа симметрии порядка 120). Это та же группа симметрии, что и у платоновых тел — додекаэдра и икосаэдра. Они являются звёздчатыми формами этих тел и сохраняют все их оси вращения и плоскости отражения.

Связь с платоновыми телами

Многогранники Кеплера — Пуансо тесно связаны с платоновыми телами:

  • Малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр являются звёздчатыми формами додекаэдра.
  • Большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр являются звёздчатыми формами икосаэдра.

Все они могут быть получены путём продолжения граней соответствующих платоновых тел. Например, если продолжить грани додекаэдра, они пересекутся, образуя вершины малого звёздчатого додекаэдра.

Применение и значение

Математика

Многогранники Кеплера — Пуансо являются важным объектом изучения в комбинаторной геометрии, топологии и теории многогранников. Они иллюстрируют понятия правильности, двойственности и звёздчатости. Их изучение способствовало развитию теории многогранников и классификации правильных фигур.

Искусство и архитектура

Эти многогранники часто используются в качестве декоративных элементов, скульптур и архитектурных форм. Их эстетическая привлекательность и симметрия делают их популярными в дизайне, ювелирном деле и изобразительном искусстве. Например, малый звёздчатый додекаэдр часто встречается в орнаментах и логотипах.

Кристаллография

Хотя в природе кристаллы с формой многогранников Кеплера — Пуансо встречаются крайне редко, их изучение помогает понять принципы симметрии и структуры кристаллических решёток. Некоторые искусственно выращенные кристаллы могут демонстрировать звёздчатые формы.

Образование

Многогранники Кеплера — Пуансо используются в качестве наглядных пособий при изучении стереометрии, симметрии и комбинаторики. Они помогают развивать пространственное мышление и понимание сложных геометрических структур.

Интересные факты

  • Все четыре многогранника Кеплера — Пуансо являются самопересекающимися (невыпуклыми). Их грани и рёбра пересекаются друг с другом, что отличает их от платоновых тел.
  • Сумма углов при вершине для каждого из этих многогранников больше 360°, что является признаком невыпуклости.
  • Двойственность многогранников Кеплера — Пуансо образует пары: малый звёздчатый додекаэдр двойствен большому додекаэдру, а большой звёздчатый додекаэдр — большому икосаэдру.
  • Многогранники Кеплера — Пуансо являются звёздчатыми формами платоновых тел, но не все звёздчатые формы платоновых тел являются правильными. Например, у додекаэдра существует три звёздчатые формы, но только две из них (малый и большой звёздчатые додекаэдры) являются правильными.

Источники

  • Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes. Dover Publications, 1973.
  • Cromwell, Peter R. Polyhedra. Cambridge University Press, 1997.
  • Weisstein, Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 2002.
  • Пуансо, Луи. Sur les polygones et les polyèdres. Journal de l'École Polytechnique, 1809.
  • Кеплер, Иоганн. Harmonices Mundi. 1619.

BFOmetr — база данных и аналитика по компаниям России.

На главную BFOmetr →

Похожие материалы