Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — это алгебраическая структура, одновременно являющаяся унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, причём структуры алгебры и коалгебры согласованы определённым образом. Алгебры Хопфа обобщают понятие групповой алгебры и алгебры функций на группе, играя фундаментальную роль в теории представлений, алгебраической топологии, квантовой теории поля и некоммутативной геометрии. Названы в честь немецкого математика Хайнца Хопфа, который ввёл это понятие в 1941 году.

Определение

Пусть \( k \) — поле (или, в более общем случае, коммутативное кольцо). Алгебра Хопфа над \( k \) — это векторное пространство \( H \) над \( k \), наделённое следующими структурами:

1. Алгебра: существуют \( k \)-линейные отображения умножения \( m: H \otimes H \to H \) и единицы \( \eta: k \to H \), такие, что диаграммы ассоциативности и унитальности коммутируют.
2. Коалгебра: существуют \( k \)-линейные отображения коумножения \( \Delta: H \to H \otimes H \) и коединицы \( \varepsilon: H \to k \), такие, что диаграммы коассоциативности и коунитальности коммутируют.
3. Совместимость: отображения \( \Delta \) и \( \varepsilon \) являются гомоморфизмами алгебр (или, что эквивалентно, \( m \) и \( \eta \) являются гомоморфизмами коалгебр).
4. Антипод: существует \( k \)-линейное отображение \( S: H \to H \), называемое антиподом (или отображением антипода), такое, что для любого \( h \in H \) выполняются соотношения:

\[ m \circ (S \otimes \operatorname{id}) \circ \Delta(h) = m \circ (\operatorname{id} \otimes S) \circ \Delta(h) = \eta \circ \varepsilon(h). \]

Антипод \( S \) является аналогом отображения взятия обратного элемента в группе. Если \( S^2 = \operatorname{id} \), антипод называется инволютивным.

История

Понятие алгебры Хопфа возникло в контексте алгебраической топологии. В 1941 году Хайнц Хопф изучал кольца когомологий групп Ли и топологических групп и обнаружил, что они обладают дополнительной структурой — коумножением, индуцированным умножением на группе. Формальное определение алгебры Хопфа было дано в 1960-х годах, когда стало ясно, что эта структура возникает в различных областях математики.

Значительный вклад в развитие теории внесли советские и российские математики. В частности, Владимир Дринфельд (лауреат Филдсовской премии 1990 года) в 1980-х годах ввёл понятие квантовой группы, которое является деформацией алгебры Хопфа функций на алгебраической группе. Дринфельд показал, что квантовые группы являются алгебрами Хопфа, и разработал теорию их представлений. Другим важным вкладом стала работа Михаила Семёновича Тихонова и других математиков по классификации конечномерных алгебр Хопфа.

Примеры

Групповая алгебра

Пусть \( G \) — группа. Групповая алгебра \( k[G] \) является алгеброй Хопфа с коумножением, коединицей и антиподом, заданными на базисных элементах \( g \in G \) как: \[ \Delta(g) = g \otimes g, \quad \varepsilon(g) = 1, \quad S(g) = g^{-1}. \] Здесь коумножение диагонально, коединица сопоставляет каждому элементу группы 1, а антипод — обратный элемент.

Алгебра функций на конечной группе

Пусть \( G \) — конечная группа. Алгебра функций \( k^G \) (с поточечным умножением) является алгеброй Хопфа с коумножением, дуальным к умножению в групповой алгебре: \[ \Delta(f)(g,h) = f(gh), \quad \varepsilon(f) = f(e), \quad S(f)(g) = f(g^{-1}), \] где \( f \in k^G \), \( g,h \in G \), \( e \) — единица группы.

Универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли

Пусть \( \mathfrak{g} \) — алгебра Ли над \( k \). Универсальная обёртывающая алгебра \( U(\mathfrak{g}) \) является алгеброй Хопфа с коумножением, коединицей и антиподом, заданными на элементах \( X \in \mathfrak{g} \) как: \[ \Delta(X) = X \otimes 1 + 1 \otimes X, \quad \varepsilon(X) = 0, \quad S(X) = -X. \] Здесь коумножение является примитивным, что отражает структуру алгебры Ли.

Квантовая группа \( U_q(\mathfrak{sl}_2) \)

Одним из важнейших примеров является квантовая группа \( U_q(\mathfrak{sl}_2) \) — деформация универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли \( \mathfrak{sl}_2 \). Она порождается элементами \( E, F, K, K^{-1} \) с соотношениями: \[ KK^{-1} = K^{-1}K = 1, \quad KEK^{-1} = q^2 E, \quad KFK^{-1} = q^{-2} F, \quad [E,F] = \frac{K - K^{-1}}{q - q^{-1}}. \] Коумножение, коединица и антипод задаются формулами: \[ \Delta(E) = E \otimes K + 1 \otimes E, \quad \Delta(F) = F \otimes 1 + K^{-1} \otimes F, \quad \Delta(K) = K \otimes K, \] \[ \varepsilon(E) = \varepsilon(F) = 0, \quad \varepsilon(K) = 1, \] \[ S(E) = -EK^{-1}, \quad S(F) = -KF, \quad S(K) = K^{-1}. \] Эта алгебра Хопфа является некоммутативной и неко-коммутативной.

Свойства

Коммутативность и кокоммутативность

Алгебра Хопфа называется коммутативной, если умножение \( m \) коммутативно, и кокоммутативной, если коумножение \( \Delta \) кокоммутативно, то есть \( \tau \circ \Delta = \Delta \), где \( \tau: H \otimes H \to H \otimes H \) — операция перестановки сомножителей. Групповая алгебра кокоммутативна, но не коммутативна (если группа неабелева). Алгебра функций на конечной группе коммутативна, но не кокоммутативна (если группа неабелева). Квантовые группы, как правило, не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными.

Двойственность

Алгебры Хопфа обладают свойством двойственности: если \( H \) — конечномерная алгебра Хопфа, то её двойственное пространство \( H^* \) также является алгеброй Хопфа с естественным образом определёнными структурами. Эта двойственность обобщает двойственность между групповой алгеброй и алгеброй функций на группе.

Интеграл

Важным понятием в теории алгебр Хопфа является интеграл — элемент \( \int \in H^* \) (левый интеграл) или \( \int \in H \) (правый интеграл), удовлетворяющий определённым условиям инвариантности. Интегралы существуют для конечномерных алгебр Хопфа и играют роль, аналогичную инвариантному интегрированию на группе.

Применение

Теория представлений

Алгебры Хопфа позволяют строить тензорные произведения представлений: если \( V \) и \( W \) — представления алгебры Хопфа \( H \), то \( V \otimes W \) также является представлением с помощью коумножения. Антипод позволяет определять двойственные представления. Это делает алгебры Хопфа естественным инструментом для изучения симметрий в квантовой механике и теории поля.

Квантовые группы

Квантовые группы, являющиеся алгебрами Хопфа, нашли применение в теории узлов и инвариантов, где они используются для построения полиномов Джонса и других квантовых инвариантов. В статистической физике квантовые группы возникают как симметрии интегрируемых моделей (например, модели Гейзенберга).

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии алгебры Хопфа возникают как кольца когомологий топологических групп и H-пространств. Структура алгебры Хопфа на когомологиях позволяет изучать гомотопические группы и классифицировать пространства.

Некоммутативная геометрия

В некоммутативной геометрии алгебры Хопфа используются для построения квантовых пространств и квантовых симметрий. Например, квантовая группа \( \operatorname{SL}_q(2) \) является алгеброй Хопфа, которая деформирует алгебру функций на группе \( \operatorname{SL}(2) \).

Классификация

Классификация конечномерных алгебр Хопфа является активной областью исследований. Для алгебр Хопфа малой размерности (до 8) известны полные списки. В 1990-х годах Николай Андрушкевич и Юрий Беспалов (Россия) получили классификацию полупростых алгебр Хопфа размерности \( p^2 \) для простого \( p \). В 2000-х годах Павел Этингоф и Дмитрий Никишин (Россия, США) продвинулись в классификации алгебр Хопфа размерности \( p^3 \).

Интересные факты

• Алгебры Хопфа являются частным случаем биалгебр — структур, являющихся одновременно алгеброй и коалгеброй с согласованными структурами. Антипод отличает алгебру Хопфа от биалгебры.
• В теории категорий алгебры Хопфа соответствуют моноидальным категориям с жёсткой структурой.
• Понятие алгебры Хопфа обобщается на случай, когда поле \( k \) заменяется коммутативным кольцом, что позволяет изучать алгебры Хопфа над кольцами целых чисел.

Источники

• Хопф Х. О топологии групп Ли и их обобщений. — 1941.
• Дринфельд В. Г. Квантовые группы. — Записки научных семинаров ЛОМИ, 1986.
• Свитцер Р. Алгебры Хопфа. — 1969.
• Кассель К. Квантовые группы. — Springer, 1995.
• Этингоф П., Никишин Д. Классификация алгебр Хопфа малой размерности. — 2002.