Билинейное отображение

Билинейное отображение — это в линейной алгебре и функциональном анализе отображение двух векторных пространств в третье, которое является линейным по каждому из своих аргументов при фиксированном другом. Иными словами, это функция \( B: V \times W \to X \), где \( V, W, X \) — векторные пространства над одним и тем же полем \( \mathbb{K} \) (обычно \( \mathbb{R} \) или \( \mathbb{C} \)), удовлетворяющая условиям линейности по первому и второму аргументу. Билинейные отображения обобщают понятие скалярного произведения и лежат в основе многих разделов математики, включая тензорное исчисление, дифференциальную геометрию и теорию представлений. В криптографии билинейные отображения (спаривания) используются для построения протоколов с уникальными свойствами, например, на основе эллиптических кривых.

Определение и формальные свойства

Пусть \( V, W, X \) — векторные пространства над полем \( \mathbb{K} \). Отображение \( B: V \times W \to X \) называется билинейным, если для любых векторов \( v, v_1, v_2 \in V \), \( w, w_1, w_2 \in W \) и любых скаляров \( \alpha, \beta \in \mathbb{K} \) выполняются два условия:

1. Линейность по первому аргументу:

\[ B(\alpha v_1 + \beta v_2, w) = \alpha B(v_1, w) + \beta B(v_2, w). \]

1. Линейность по второму аргументу:

\[ B(v, \alpha w_1 + \beta w_2) = \alpha B(v, w_1) + \beta B(v, w_2). \]

Если \( V = W \), то отображение называется билинейной формой на \( V \). В этом случае часто дополнительно рассматривают свойства симметричности (\( B(v, w) = B(w, v) \)) или кососимметричности (\( B(v, w) = -B(w, v) \)).

Примеры

• Скалярное произведение в евклидовом пространстве \( \mathbb{R}^n \): \( \langle v, w \rangle = \sum_{i=1}^n v_i w_i \) является симметричной билинейной формой.
• Векторное произведение в \( \mathbb{R}^3 \): \( v \times w \) — билинейное отображение из \( \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \) в \( \mathbb{R}^3 \), которое является кососимметричным.
• Умножение матриц: если \( V = \mathbb{K}^{m \times n} \), \( W = \mathbb{K}^{n \times p} \), то отображение \( (A, B) \mapsto AB \) билинейно по каждому сомножителю.
• Определитель как функция от столбцов матрицы: \( \det: \mathbb{K}^n \times \dots \times \mathbb{K}^n \to \mathbb{K} \) является полилинейным (мультилинейным) отображением, частным случаем которого является билинейность при \( n=2 \).

Связь с тензорным произведением

Билинейные отображения тесно связаны с тензорным произведением векторных пространств. Тензорное произведение \( V \otimes W \) обладает универсальным свойством: для любого билинейного отображения \( B: V \times W \to X \) существует единственное линейное отображение \( \tilde{B}: V \otimes W \to X \) такое, что \( B(v, w) = \tilde{B}(v \otimes w) \). Это свойство позволяет сводить изучение билинейных отображений к изучению линейных отображений на тензорном произведении.

Матричное представление

Если \( V \) и \( W \) конечномерны, то билинейное отображение \( B: V \times W \to \mathbb{K} \) (билинейная форма) может быть представлено матрицей. Пусть \( \{e_1, \dots, e_m\} \) — базис \( V \), а \( \{f_1, \dots, f_n\} \) — базис \( W \). Тогда для любых векторов \( v = \sum_i v_i e_i \) и \( w = \sum_j w_j f_j \) значение \( B(v, w) \) вычисляется как: \[ B(v, w) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n v_i w_j B(e_i, f_j). \] Матрица \( M \) размера \( m \times n \) с элементами \( M_{ij} = B(e_i, f_j) \) полностью определяет отображение. В случае симметричной билинейной формы (\( V = W \)) матрица симметрична.

Классификация билинейных форм

Билинейные формы на конечномерном пространстве \( V \) классифицируются по своим свойствам:

• Симметричные: \( B(v, w) = B(w, v) \). Пример — скалярное произведение.
• Кососимметричные (альтернирующие): \( B(v, w) = -B(w, v) \). Для таких форм \( B(v, v) = 0 \) для всех \( v \). Пример — симплектическая форма в гамильтоновой механике.
• Невырожденные: если \( B(v, w) = 0 \) для всех \( w \in V \) только при \( v = 0 \). Невырожденные симметричные формы задают псевдоскалярные произведения (например, метрика Минковского в теории относительности).
• Вырожденные: существуют ненулевые векторы \( v \), для которых \( B(v, w) = 0 \) для всех \( w \). Пример — форма \( B(v, w) = v_1 w_1 \) в \( \mathbb{R}^2 \) (вырождена по второму аргументу).

Билинейные отображения в криптографии

В криптографии с открытым ключом билинейные отображения, называемые спариваниями (pairings), используются для построения протоколов, которые невозможно реализовать с помощью обычных асимметричных схем. Основой служат эллиптические кривые над конечными полями. Спаривание — это билинейное отображение \( e: G_1 \times G_2 \to G_T \), где \( G_1, G_2, G_T \) — циклические группы простого порядка \( p \). Оно обладает свойствами:

• Билинейность: \( e(aP, bQ) = e(P, Q)^{ab} \) для любых целых \( a, b \).
• Невырожденность: \( e(P, Q) \neq 1 \) для ненулевых \( P, Q \).
• Вычислимость: существует эффективный алгоритм для вычисления \( e(P, Q) \).

Наиболее распространённые типы спариваний — спаривание Вейля (Weil pairing) и спаривание Тейта (Tate pairing). Они лежат в основе криптосистем, таких как:

• Схема идентификации на основе идентичности (IBE): предложена Дэном Боне и Мэттью Франклином в 2001 году. Позволяет использовать в качестве открытого ключа произвольную строку (например, адрес электронной почты).
• Короткие подписи: например, схема Боне-Лин-Шахама (BLS), где подпись состоит из одного элемента группы.
• Протокол трёхстороннего обмена ключами: версия Диффи-Хеллмана для трёх сторон, требующая всего одного раунда.

Пример: спаривание Вейля

Спаривание Вейля \( e: E[n] \times E[n] \to \mu_n \) отображает пару точек \( n \)-кручения эллиптической кривой \( E \) в корни из единицы \( \mu_n \) в конечном поле. Оно билинейно и невырождено. Для криптографических целей используют кривые с малым вложением (embedding degree), чтобы обеспечить эффективность вычислений, но при этом сохранить стойкость к атакам.

Применение в других областях

• Дифференциальная геометрия: первая и вторая фундаментальные формы поверхности являются симметричными билинейными формами на касательном пространстве. Они определяют метрику и кривизну.
• Теория относительности: метрический тензор пространства-времени Минковского — это невырожденная симметричная билинейная форма с сигнатурой \( (1, 3) \).
• Квантовая механика: операторы плотности и скалярные произведения в гильбертовых пространствах являются билинейными (точнее, полуторалинейными, если поле комплексное).
• Функциональный анализ: билинейные формы на бесконечномерных пространствах (например, интегральные операторы) изучаются в теории операторов.

Интересные факты

• Термин «билинейный» ввёл немецкий математик Герман Грассман в середине XIX века в контексте теории расширений (предшественницы тензорной алгебры).
• Спаривания на эллиптических кривых долгое время считались «враждебными» криптографии, так как они позволяют свести задачу дискретного логарифма в группе точек к задаче в конечном поле, что потенциально ослабляет стойкость. Однако их конструктивное применение началось лишь в конце 1990-х годов.
• В 2003 году Дэн Боне и соавторы показали, что спаривания могут быть использованы для построения схем с нулевым разглашением (zero-knowledge proofs) и конфиденциальных транзакций в блокчейне.

Источники

• Кострикин А. И. «Введение в алгебру», том 2. — М.: Наука, 1977.
• Бурбаки Н. «Алгебра. Модули, кольца, формы». — М.: Мир, 1966.
• Boneh D., Franklin M. «Identity-Based Encryption from the Weil Pairing» // CRYPTO 2001.
• Silverman J. H. «The Arithmetic of Elliptic Curves». — Springer, 2009.