Бином Ньютона¶

Бином Ньютона — математическая формула, описывающая степень бинома (суммы двух слагаемых) в виде суммы одночленов с коэффициентами, называемыми биномиальными коэффициентами. Формула названа в честь английского математика Исаака Ньютона, который впервые обобщил её на произвольную (не только целочисленную) степень. Бином Ньютона лежит в основе комбинаторики, теории вероятностей и математического анализа.

¶Формулировка

Для целочисленной степени n формула записывается так:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,$$

где $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Здесь n! — факториал числа n. Коэффициент $\binom{n}{k}$ читается как «n по k» и равен числу способов выбрать k элементов из n без учёта порядка.

Например, при n = 3:

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$$

¶История

Знание отдельных случаев биномиальной формулы восходит к древности. Индийский математик Ариабхата (V век н. э.) и персидский учёный Аль-Караджи (X век) рассматривали треугольник чисел, в котором строки содержат коэффициенты разложения степеней бинома. В Китае этот треугольник известен как треугольник Ян Хуэя (XIII век), хотя отдельные его свойства были известны и раньше.

В Европе треугольник коэффициентов описал в XVI веке французский математик Блез Паскаль — в честь него он носит название треугольника Паскаля. Сама формула для целых степеней была известна ещё в XVII веке.

Главный вклад внёс Исаак Ньютон, который в 1665 году в трактате «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» обобщил формулу на произвольную степень n, включая дробные и отрицательные показатели. Такое разложение представляет собой бесконечный ряд:

$$(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k,$$

где биномиальный коэффициент определяется уже через произведение:

$$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.$$

Для целочисленного n ряд обрывается на конечном члене, и формула совпадает с классической. Для дробных и отрицательных степеней ряд сходится при $|x| < 1$.

¶Биномиальные коэффициенты

Коэффициенты разложения образуют треугольник Паскаля, каждая строка которого получается из предыдущей по правилу:

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$$

Первые строки треугольника:

Сумма коэффициентов в строке n равна $2^n$, что согласуется с равенством $(1+1)^n = 2^n$.

¶Свойства

• Коэффициенты симметричны: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
• Максимальное значение коэффициента достигается при k = n/2 (для чётных n).
• Биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
• Сумма чередующихся коэффициентов равна нулю: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$ при n > 0.

¶Применение

Бином Ньютона применяется в нескольких областях математики:

• Комбинаторика. Коэффициент $\binom{n}{k}$ считает число подмножеств мощности k из множества мощности n, число размещений и перестановок.
• Теория вероятностей. Биномиальное распределение вероятностей описывает число успехов в последовательности независимых испытаний и напрямую основано на биномиальных коэффициентах.
• Математический анализ. Обобщённое разложение используется при вычислении производных, в ряде Тейлора и в задачах на пределы.
• Алгебра. Формула применяется при раскрытии скобок, упрощении выражений и в теории чисел.

¶Интересные факты

• Сумма всех биномиальных коэффициентов с нечётными индексами равна сумме коэффициентов с чётными индексами и равна $2^{n-1}$ при n ≥ 1.
• Существует комбинаторное доказательство формулы: коэффициент при $a^{n-k}b^k$ в разложении $(a+b)^n$ равен числу способов выбрать k позиций из n для слагаемого b.
• Треугольник Паскаля обладает множеством скрытых закономерностей: суммы по диагоналям дают числа Фибоначчи, а произведения симметричных элементов строки — квадраты биномиальных коэффициентов.

¶Источники

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по алгебре.
• Ньютон И. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1665).
• Гмурман В. Е. Учебник по теории вероятностей и математической статистике.