Частные производные функции нескольких переменных¶

Частная производная — это понятие математического анализа, обобщающее обычную производную на функции нескольких переменных. Частной производной функции \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) по переменной \( x_i \) называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{\Delta x_i}. \]

Обозначается \( \partial f / \partial x_i \), \( f'_{x_i} \) или \( \partial_{x_i} f \). Символ \( \partial \) (курляндия «д») ввёл Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века; общепринятым в анализе он стал благодаря работам Карла Густава Якоба Якоби.

¶Смысл определения

При вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные считаются фиксированными постоянными. Тем самым многомерная задача сводится к одномерной: функция рассматривается как функция одной переменной вдоль прямой, параллельной соответствующей координатной оси. Геометрически частная производная \( \partial f / \partial x \) в точке равна тангенсу угла наклона касательной к линии пересечения поверхности \( z = f(x, y) \) с плоскостью \( y = \text{const} \).

¶Примеры вычисления

Для функции \( f(x, y) = x^2 y + 3xy^3 \):

• \( \partial f / \partial x = 2xy + 3y^3 \) (переменная \( y \) считается постоянной);
• \( \partial f / \partial y = x^2 + 9xy^2 \) (постоянной считается \( x \)).

Правила дифференцирования — линейность, правило произведения, цепное правило — переносятся на частные производные без изменений.

¶Частные производные высших порядков

Частные производные сами являются функциями нескольких переменных, поэтому от них можно снова брать частные производные. Возникают производные второго порядка: \( \partial^2 f / \partial x^2 \), \( \partial^2 f / \partial y^2 \) и смешанные \( \partial^2 f / \partial x \partial y \). Если смешанные производные непрерывны в окрестности точки, они равны между собой (теорема Шварца, или теорема о равенстве смешанных производных). Это свойство симметрии широко используется при проверке вычислений.

¶Дифференцируемость и градиент

Существование всех частных производных в точке ещё не гарантирует дифференцируемости функции в этой точке: классический контрпример — функция \( f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) \) при \( (x, y) \neq (0,0) \). Дифференцируемость означает существование линейного приближения (дифференциала), а частные производные суть коэффициенты этого приближения. Вектор, составленный из частных производных, называется градиентом:

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right). \]

Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а его длина равна максимальной скорости этого роста. Через градиент записываются производная по направлению и уравнение касательной плоскости.

¶Применение

¶Оптимизация

Необходимое условие экстремума гладкой функции нескольких переменных — равенство нулю всех частных производных (условие стационарности). Вместе с матрицей вторых производных (гессианом) это даёт критерий минимума, максимума или седловой точки. На этом основан метод множителей Лагранжа для задач с ограничениями.

¶Физика и техника

Уравнения математической физики записываются через частные производные: уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнения Максвелла, уравнения Навье — Стокса. Оператор Лапласа \( \Delta = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2 \) описывает стационарные поля — от распределения температуры до электростатического потенциала.

¶Экономика

В экономической теории частные производные производственной функции \( Q = f(K, L) \) по капиталу и труду дают предельные продукты факторов. В микроэкономике предельная полезность — это частная производная функции полезности по количеству блага.

¶Машинное обучение

Градиентные методы обучения нейронных сетей основаны на вычислении частных производных функции потерь по параметрам модели. Алгоритм обратного распространения ошибки (backpropagation) эффективно вычисляет эти производные по правилу цепочки.

¶Связь с полной производной

Полный дифференциал функции выражается через частные производные:

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n. \]

Если переменные сами зависят от параметра \( t \), полная производная по \( t \) (правило цепочки) равна сумме произведений частных производных на производные промежуточных переменных. Это различие между частной и полной производной принципиально: частная учитывает изменение только одной переменной при фиксированных прочих, полная — все зависимости.

¶История

Понятие частной производной возникло в XVIII веке в работах Леонарда Эйлера и Алексиса Клеро при решении задач о геометрии поверхностей и вариационного исчисления. Жозеф Луи Лагранж применял частные производные в аналитической механике. Строгое определение через пределы и систематическая теория дифференцируемости функций многих переменных сложились в XIX веке в трудах Огюстена Луи Коши, Карла Вейерштрасса и Бернхарда Римана. В России курс анализа функций многих переменных развивали Николай Лузин, Дмитрий Егоров и их ученики; современные учебники восходят к традиции Московской математической школы.

¶Обозначения

¶Источники

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
• Зорич В. А. Математический анализ.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.