Адриен Мари Лежандр

Адриен Мари Лежандр (фр. Adrien-Marie Legendre; 18 сентября 1752, Париж — 10 января 1833, там же) — французский математик, член Парижской академии наук (1783), иностранный почётный член Петербургской академии наук (1806) и Лондонского королевского общества (1787). Внёс фундаментальный вклад в теорию чисел, математический анализ, теорию эллиптических интегралов, дифференциальную геометрию и теорию потенциала. Его имя носят многочисленные математические объекты: полиномы Лежандра, символ Лежандра, преобразование Лежандра, функция Лежандра и другие.

Биография

Ранние годы и образование

Адриен Мари Лежандр родился в зажиточной семье. Его отец был государственным чиновником. Начальное образование получил в Коллеже Мазарини (Париж). В 1770 году защитил диссертацию по математике. В 1775 году начал преподавать в Военной школе (École Militaire), а в 1782 году — в Коллеже Мазарини.

Академическая карьера

В 1783 году Лежандр был избран членом Парижской академии наук, заменив выбывшего Пьера-Симона Лапласа. В 1787 году он участвовал в англо-французской геодезической экспедиции по измерению дуги меридиана, соединяющей Гринвич и Париж, что способствовало точному определению метра.

В 1791 году Лежандр стал членом Комиссии по мерам и весам, которая разрабатывала метрическую систему. В 1795 году он был назначен профессором математики в недавно созданной Политехнической школе (École Polytechnique), где преподавал до 1815 года. В 1813 году он сменил Жозефа-Луи Лагранжа на посту председателя экзаменационной комиссии.

Последние годы

После реставрации Бурбонов Лежандр потерял пенсию из-за отказа присягнуть новому правительству. В 1824 году он публично выступил против правительственного запрета на преподавание математики, что привело к конфликту с властями. Последние годы жизни провёл в бедности. Умер 10 января 1833 года в Париже.

Научные достижения

Теория чисел

Лежандр внёс решающий вклад в теорию чисел. В 1798 году он опубликовал трактат «Опыт теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres), который стал классическим трудом в этой области. В этой работе он:

• Сформулировал закон квадратичной взаимности — одну из фундаментальных теорем теории чисел, хотя строгое доказательство было дано Гауссом в 1801 году.
• Ввёл символ Лежандра (a/p) — обозначение, используемое для определения, является ли число a квадратичным вычетом по модулю простого числа p.
• Выдвинул гипотезу о распределении простых чисел (теорема о простых числах), которая утверждает, что количество простых чисел, не превосходящих x, приблизительно равно x / ln(x). В 1808 году он уточнил эту оценку, введя логарифмический интеграл.
• Доказал теорему о квадратичных формах и разработал метод их классификации.

Эллиптические интегралы и функции

Лежандр является одним из создателей теории эллиптических интегралов. В 1786 году он опубликовал мемуар «Об эллиптических интегралах», а в 1825–1832 годах — трёхтомный труд «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах» (Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes). Он:

• Ввёл стандартные формы эллиптических интегралов (первого, второго и третьего рода), которые до сих пор используются в математике.
• Разработал таблицы эллиптических интегралов, которые широко применялись в астрономии и физике.
• Ввёл понятие эллиптической функции (хотя полную теорию построил Нильс Абель).

Математический анализ

• Преобразование Лежандра — важное преобразование, используемое в анализе, вариационном исчислении, термодинамике и механике. Оно позволяет перейти от одной функции к её двойственной, заменяя независимые переменные на производные.
• Полиномы Лежандра — система ортогональных многочленов, решения дифференциального уравнения Лежандра. Они широко применяются в теории потенциала, квантовой механике, астрофизике и численных методах.
• Функция Лежандра (присоединённые функции Лежандра) — обобщение полиномов Лежандра, используемое в сферических гармониках.
• Гамма-функция — Лежандр ввёл современное обозначение Γ(z) и разработал её свойства, хотя сама функция была известна Эйлеру.

Дифференциальная геометрия

• Теорема Лежандра — утверждение о том, что сферический треугольник с малыми сторонами можно аппроксимировать плоским треугольником с поправкой на сферический избыток.
• Формула Лежандра — связь между углами и сторонами сферического треугольника, используемая в геодезии.

Теория потенциала

• Метод Лежандра — разложение потенциала притяжения в ряд по полиномам Лежандра, что позволило решать задачи гравитации и электростатики для сферических тел.
• Формула Лежандра — выражение для потенциала однородного шара.

Другие работы

• Метод наименьших квадратов — Лежандр в 1805 году опубликовал первое изложение этого метода в работе «Новые методы для определения орбит комет» (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes). Хотя приоритет оспаривается Гауссом, именно Лежандр ввёл термин «метод наименьших квадратов» и дал его систематическое изложение.
• Интеграл Лежандра — специальный интеграл, связанный с гамма-функцией.
• Таблицы логарифмов — в 1817 году Лежандр опубликовал «Таблицы логарифмов тригонометрических функций» (Tables de logarithmes des fonctions trigonométriques), которые были стандартным справочным пособием до конца XIX века.

Основные труды

• «Опыт теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres, 1798; 2-е изд. 1808; 3-е изд. 1830)
• «Новые методы для определения орбит комет» (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, 1805)
• «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices de calcul intégral, 1811–1819, 3 тома)
• «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах» (Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 1825–1832, 3 тома)
• «Элементы геометрии» (Éléments de géométrie, 1794) — учебник, выдержавший множество изданий и переводов, в том числе на русский язык.

Память

• Имя Лежандра высечено на Эйфелевой башне в списке 72 великих французских учёных.
• В его честь назван кратер на Луне (Лежандр, диаметр 78 км).
• В 1970 году Международный астрономический союз присвоил имя Лежандра одному из кратеров на обратной стороне Луны.
• В математике его имя носят: полиномы Лежандра, функция Лежандра, символ Лежандра, преобразование Лежандра, уравнение Лежандра, дифференциальное уравнение Лежандра, интеграл Лежандра, теорема Лежандра, формула Лежандра, метод Лежандра.

Источники

• Большая советская энциклопедия, 3-е издание, статья «Лежандр Адриен Мари»
• Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича, том 3, М., «Наука», 1972
• К. А. Рыбников, «История математики», том 2, М., Изд-во МГУ, 1963
• Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner’s Sons, 1970–1980