Жозеф Луи Лагранж

Жозеф Луи Лагранж (итал. Giuseppe Lodovico Lagrangia, фр. Joseph-Louis Lagrange; 25 января 1736, Турин, Сардинское королевство — 10 апреля 1813, Париж, Франция) — французский и итальянский математик, астроном и механик, один из крупнейших учёных XVIII века. Внёс фундаментальный вклад в развитие вариационного исчисления, теории чисел, алгебры, аналитической механики и небесной механики. Лагранж известен как автор «Аналитической механики» (1788), в которой механика была представлена как чисто математическая дисциплина, основанная на принципе наименьшего действия. Член Парижской, Берлинской и Петербургской академий наук.

Биография

Ранние годы и образование

Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 года в Турине, столице Сардинского королевства (современная Италия). Его отец, Джузеппе Франческо Лагранж, был казначеем Военного министерства Сардинии, а мать, Тереза Гроссо, происходила из семьи врачей. Семья была состоятельной, но после неудачных финансовых спекуляций отца потеряла значительную часть состояния. Лагранж впоследствии говорил, что если бы он был богат, то, возможно, не стал бы заниматься математикой.

Первоначально Лагранж изучал право в Туринском университете, следуя желанию отца, который видел его адвокатом. Однако интерес к математике пробудился после прочтения работы Эдмунда Галлея «О преимуществах аналитического метода» и трактата Архимеда. В возрасте 17 лет он начал самостоятельно изучать математику, а в 19 лет уже преподавал в Королевской артиллерийской школе Турина.

Научная деятельность в Турине

В 1754 году Лагранж опубликовал свою первую научную работу — письмо о математическом анализе, адресованное итальянскому математику Джулио Карло да Фаньяно. В 1755 году он стал профессором математики в Королевской артиллерийской школе. В том же году Лагранж отправил свои исследования по вариационному исчислению Леонарду Эйлеру, который высоко оценил их и признал приоритет молодого учёного.

В 1758 году при активном участии Лагранжа было основано Туринское научное общество (позднее ставшее Туринской академией наук). В его трудах публиковались работы Лагранжа по теории звука, распространению волн, а также по вариационному исчислению.

Берлинский период (1766—1787)

В 1766 году по рекомендации Леонарда Эйлера и при поддержке прусского короля Фридриха II Лагранж был приглашён в Берлинскую академию наук, где занял пост директора математического отделения, освободившийся после отъезда Эйлера в Россию. Лагранж провёл в Берлине 21 год, которые стали наиболее плодотворным периодом его научной карьеры.

В Берлине он написал свои главные труды: «Аналитическую механику» (опубликована в 1788 году), а также работы по теории чисел, алгебре и небесной механике. Лагранж вёл активную переписку с ведущими учёными Европы, включая Эйлера, Даламбера и Лапласа.

Парижский период (1787—1813)

После смерти Фридриха II в 1786 году Лагранж принял приглашение французского короля Людовика XVI и переехал в Париж. Он стал членом Парижской академии наук. В 1788 году была опубликована его «Аналитическая механика», которая сразу принесла ему широкую известность.

В период Французской революции Лагранж оставался в Париже. Он участвовал в работе Комиссии по разработке метрической системы мер и весов (1793), а также в реформировании системы образования. В 1795 году он стал одним из первых профессоров вновь созданной Нормальной школы, а в 1797 году — профессором Политехнической школы, где читал лекции по математическому анализу.

В 1813 году Лагранж был награждён орденом Почётного легиона и получил титул графа Империи от Наполеона Бонапарта. Жозеф Луи Лагранж скончался 10 апреля 1813 года в Париже. Похоронен в парижском Пантеоне.

Научные достижения

Математический анализ и вариационное исчисление

Лагранж внёс решающий вклад в развитие вариационного исчисления. В 1755 году, в возрасте 19 лет, он разработал метод вариаций, который позволил решать задачи на нахождение экстремумов функционалов. Этот метод, позже названный «вариационным исчислением Лагранжа», стал основой для многих разделов физики и математики.

В 1797 году вышла его книга «Теория аналитических функций», в которой Лагранж попытался построить математический анализ на строгой алгебраической основе, используя понятие производной как предела разностного отношения. Хотя его подход не был полностью свободен от недостатков, он стал важным шагом на пути к строгому обоснованию анализа.

Теория чисел

Лагранж внёс значительный вклад в теорию чисел. В 1770 году он доказал теорему, которая впоследствии стала известна как теорема Лагранжа: любое натуральное число можно представить в виде суммы не более четырёх квадратов целых чисел. Он также доказал теорему Вильсона (если \(p\) — простое число, то \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\)) и установил, что она является достаточным условием простоты числа.

Лагранж изучал решение диофантовых уравнений, в частности, разработал метод решения неопределённых уравнений второй степени с двумя переменными. Он также внёс вклад в теорию непрерывных дробей, используя их для решения квадратных уравнений.

Алгебра

В алгебре Лагранж известен своей работой «Размышления о решении алгебраических уравнений» (1771), в которой он исследовал общие методы решения уравнений третьей и четвёртой степени. Он показал, что эти методы основаны на использовании симметрических функций корней, и попытался распространить их на уравнения высших степеней. Хотя ему не удалось найти общий метод решения уравнений пятой степени, его работа заложила основы теории Галуа и теории групп.

Лагранж также ввёл понятие подстановки и разработал теорию перестановок, которая стала предшественницей теории групп. Его имя носит теорема Лагранжа в теории групп: порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок самой группы.

Механика

Главным трудом Лагранжа в области механики является «Аналитическая механика» (Mécanique analytique, 1788). В этой книге он изложил механику как раздел математического анализа, не используя геометрических чертежей. Лагранж ввёл понятие обобщённых координат и обобщённых сил, а также вывел уравнения движения, известные как уравнения Лагранжа второго рода:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]

где \(L = T - V\) — функция Лагранжа (лагранжиан), \(q_i\) — обобщённые координаты, \(\dot{q}_i\) — обобщённые скорости.

Лагранж также сформулировал принцип наименьшего действия в форме, близкой к современной, и показал, что уравнения движения можно вывести из этого принципа.

Небесная механика

Лагранж внёс фундаментальный вклад в небесную механику, особенно в изучение устойчивости Солнечной системы. Он исследовал задачу трёх тел и нашёл частные решения, в которых три тела движутся, оставаясь в вершинах равностороннего треугольника. Эти точки получили название точек Лагранжа (L4 и L5). В них гравитационные силы уравновешиваются центробежными силами, что делает их устойчивыми для размещения космических аппаратов.

Лагранж также изучал вековые возмущения планетных орбит и доказал, что большие полуоси планетных орбит испытывают лишь периодические, а не вековые изменения, что подтверждает устойчивость Солнечной системы.

Основные труды

• «Аналитическая механика» (Mécanique analytique, 1788) — фундаментальный труд, в котором механика представлена как раздел математического анализа.
• «Теория аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques, 1797) — попытка строгого обоснования математического анализа.
• «Лекции по элементарной математике» (Leçons sur le calcul des fonctions, 1806) — учебное пособие, основанное на лекциях в Политехнической школе.
• «Размышления о решении алгебраических уравнений» (Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1771) — работа, заложившая основы теории групп.
• «О решении неопределённых уравнений второй степени» (Sur la solution des équations indéterminées du second degré, 1769) — работа по теории чисел.

Память

Имя Лагранжа увековечено в многочисленных научных терминах и объектах:

• Уравнения Лагранжа — основные уравнения аналитической механики.
• Функция Лагранжа (лагранжиан) — функция, описывающая динамику системы.
• Точки Лагранжа — точки в системе двух тел, где третье тело может находиться в равновесии.
• Теорема Лагранжа — несколько теорем в разных разделах математики.
• Метод множителей Лагранжа — метод нахождения условного экстремума функции.
• Интерполяционный многочлен Лагранжа — форма представления интерполяционного многочлена.
• Кратер Лагранж на Луне.
• Астероид (1006) Лагранжа.
• Имя Лагранжа высечено на Эйфелевой башне в списке 72 величайших учёных Франции.

Источники

• Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XVIII столетия. — М.: Наука, 1972.
• Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика. — М.: ГИТТЛ, 1950.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Тюлина И. А. История механики. — М.: Наука, 1979.