Диагональ 17¶

Диагональ 17 — диагональ прямоугольника со сторонами 8 и 15 единиц, длина которой составляет 17 единиц. Такое соотношение сторон и диагонали образует тройку Пифагора (8, 15, 17), что делает данный прямоугольник примером пифагорова прямоугольника — прямоугольника, у которого длина диагонали является целым числом.

¶Математические свойства

Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Для сторон 8 и 15:

$$d = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$

Тройка (8, 15, 17) является примитивной пифагоровой тройкой, то есть числа 8, 15 и 17 попарно взаимно просты. Общая формула для построения пифагоровых троек — $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ при $m > n$ — при $m = 4$ и $n = 1$ даёт значения 15, 8 и 17 соответственно.

Диагональ 17 делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 8 и 15 и гипотенузой 17. Площадь такого треугольника равна $\frac{8 \times 15}{2} = 60$ квадратным единицам, а периметр — $8 + 15 + 17 = 40$ единицам.

¶Тройки Пифагора с диагональю 17

Диагональ длиной 17 может быть гипотенузой и для других прямоугольных треугольников с целыми катетами. Перебор целых значений $a$ от 1 до 16 по формуле $b = \sqrt{17^2 - a^2}$ показывает, что целочисленные решения уравнения $a^2 + b^2 = 289$ при $a \leqslant b$ — это пары (8, 15). Таким образом, прямоугольник со сторонами 8 и 15 — единственный пифагоров прямоугольник с диагональю 17 и целыми сторонами.

¶Применение в задачах

Задачи с диагональю 17 встречаются в школьном курсе геометрии и алгебры. Типичные варианты:

• Найти площадь прямоугольника, зная диагональ 17 и соотношение сторон 8:15. Площадь равна $8 \times 15 = 120$ квадратным единицам.
• Найти стороны прямоугольника, если диагональ 17, а разность сторон 7. Решение: $a^2 + b^2 = 289$, $b - a = 7$; подстановка даёт $a = 8$, $b = 15$.
• Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть 8,5.
• Найти радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника со сторонами 8, 15, 17: $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3$.

¶Диагональ 17 в квадрате

Задача на нахождение диагонали квадрата со стороной 17 решается по формуле $d = a\sqrt{2}$, что даёт $17\sqrt{2} \approx 24,04$ единицы. Иногда под выражением «диагональ 17» подразумевается прямоугольный треугольник, у которого диагональ (гипотенуза) равна 17, а катеты — целые числа; в этом случае, как показано выше, подходят только катеты 8 и 15.

¶Интересные факты

• Тройка (8, 15, 17) — одна из немногих пифагоровых троек, где все три числа нечётные.
• Число 17 — простое число, что исключает нетривиальные делители гипотенузы и упрощает проверку примитивности тройки.
• Прямоугольник 8 × 15 и прямоугольник 15 × 8 считаются одинаковыми с точностью до поворота, поэтому задача о диагонали 17 имеет единственное решение в целых числах.

Источники:

• «Математический справочник для школьников», под ред. И. Я. Кляцкина
• «Сборник задач по алгебре и началам анализа», А. Г. Куршин
• «Геометрия. 7–9 класс», Л. С. Атанасян и др.
• Энциклопедия «Математические тройки Пифагора», В. Н. Дубровин