Диагональ: вычисление и свойства¶

Диагональ — отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника или многогранника, а также линия, проходящая через центр прямоугольника или параллелограмма и соединяющая противоположные вершины. В широком смысле диагональю называют любую прямую, пересекающую многогранник или выпуклое тело через центр. Понятие диагонали применяется в геометрии, архитектуре, строительстве и повседневных расчётах — например, при определении размеров экрана, дверного проёма или упаковки.

¶Диагональ прямоугольника

Самый распространённый случай — диагональ прямоугольника. Стороны прямоугольника взаимно перпендикулярны, поэтому диагональ делит его на два прямоугольных треугольника с общим гипотенузой. По теореме Пифагора:

d = √(a² + b²),

где a и b — длины сторон, d — длина диагонали.

Пример: при a = 3 м и b = 4 м диагональ равна √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 м.

Для квадрата со стороной a формула упрощается: d = a√2, поскольку обе стороны равны. Если известна диагональ квадрата, сторона вычисляется как a = d / √2.

¶Диагональ параллелограмма и ромба

У параллелограмма диагонали не равны и не перпендикулярны. Их длины выражаются через стороны a, b и угол α между ними:

• d₁² = a² + b² + 2ab·cos α
• d₂² = a² + b² − 2ab·cos α

Для прямоугольника (α = 90°, cos α = 0) обе формулы сводятся к теореме Пифагора.

У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и вдвое делят друг друга. Если диагонали ромба равны d₁ и d₂, сторона ромба находится по формуле:

a = ½√(d₁² + d₂²).

¶Диагональ треугольника

В общем смысле диагональ треугольника не определена — треугольник не имеет несмежных вершин. Однако через любую его вершину можно провести медиану, биссектрису или высоту, которые часто путают с диагональю. В задачах на вычисление диагонали треугольник обычно возникает как часть более сложной фигуры — например, как один из двух треугольников, на которые делится прямоугольник или трапеция.

¶Диагональ трапеции

В трапеции, как и в любом четырёхугольнике, две диагонали. Их длины через основания a и b, боковые стороны c и d и угол α между диагональю и большим основанием вычисляются по формуле:

x = √(a² + c² − 2ac·cos α),

где x — длина диагонали. В прямоугольной трапеции (один боковой угол равен 90°) диагональ можно найти через высоту h и разность оснований: d = √(h² + (a − b)²).

¶Диагональ многогранника

Для многогранников различают диагонали рёберные (соединяющие несмежные вершины одной грани) и пространственные (соединяющие несмежные вершины всего тела). В кубе со стороной a пространственная диагональ равна:

d = a√3,

потому что она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и a√2 (две диагонали грани). Если известна диагональ куба, сторона находится как a = d / √3.

В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами a, b, c пространственная диагональ:

d = √(a² + b² + c²).

¶Диагональ в прямоугольном треугольнике

Иногда под «диагональю» подразумевают гипотенузу прямоугольного треугольника, если треугольник рассматривается как половина прямоугольника. Тогда формула остаётся той же: c = √(a² + b²), где c — гипотенуза, a и b — катеты.

¶Практическое применение

Вычисление диагонали используется при:

• определении диагонали экрана телевизора или монитора (измеряется по диагонали, стороны находятся через соотношение сторон экрана);
• расчёте диагонали дверного проёма или окна;
• определении длины упаковки, конверта или коробки;
• строительстве и монтаже — например, при проверке прямоугольности конструкций измерением диагоналей (равные диагонали свидетельствуют о прямоугольности четырёхугольника);
• компьютерной графике и моделировании — при определении габаритов объектов.

Для экрана с диагональю D и соотношением сторон m:n стороны вычисляются как a = D·m / √(m² + n²) и b = D·n / √(m² + n²).

¶Свойства диагоналей

• Диагонали параллелограмма точечно разделяются пополам.
• Диагонали ромба и квадрата взаимно перпендикулярны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
• В трапеции диагонали равны тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.

Источники:

• Атанасян Л. С. «Геометрия. 7–9 классы»
• Атанасян Л. С. «Геометрия. 10–11 классы»
• Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы»
• Виленкин Н. Я. «Математика. 5–6 классы»
• Рабочая программа по математике для основной и средней школы (ФГОС)