Трапеция в геометрии¶

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми сторонами. Трапеция относится к классу выпуклых четырёхугольников и занимает промежуточное положение между параллелограммом (у которого параллельны обе пары сторон) и произвольным четырёхугольником. В школьном курсе планиметрии трапеция изучается как один из базовых видов многоугольников, а её свойства лежат в основе множества геометрических задач.

¶Определение и терминология

В классическом определении трапеция — выпуклый четырёхугольник, имеющий ровно одну пару параллельных сторон. Иногда встречается расширенное определение, причисляющее к трапециям и параллелограмм (как четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон), однако в русскоязычной школьной традиции принято первое, более строгое.

Основные элементы трапеции:

• Основания — параллельные стороны (обычно обозначаются как большее и меньшее основание).
• Боковые стороны — непараллельные стороны.
• Высота — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Сумма углов трапеции, как и любого четырёхугольника, равна 360°. Углы, прилежащие к каждой боковой стороне, в сумме дают 180°, поскольку являются внутренними односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне.

¶Виды трапеций

Классификация строится по свойствам боковых сторон и углов.

В равнобедренной трапеции равны углы при каждом основании и диагонали; она обладает осью симметрии, проходящей через середины оснований. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон одновременно является высотой.

¶Основные свойства

Средняя линия. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = (a + b) / 2,

где a и b — длины оснований. Это утверждение — частный случай теоремы о средней линии треугольника, к которому приводит дополнительное построение.

Площадь. Площадь трапеции вычисляется несколькими равносильными способами:

• через основания и высоту: S = ((a + b) / 2) · h;
• через среднюю линию и высоту: S = m · h;
• через диагонали и угол между ними: S = (1/2) · d₁ · d₂ · sin φ.

Диагонали. Диагонали трапеции пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении, равном отношению длин оснований. Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

Вписанная и описанная окружности. Окружность можно вписать в трапецию тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Если трапеция одновременно является вписанной и описанной, её высота равна среднему геометрическому оснований.

¶История изучения

Четырёхугольники с параллельными сторонами рассматривались ещё в древних цивилизациях при измерении земельных участков. В «Началах» Евклида (III век до н. э.) отдельного термина для трапеции нет, но изучаются свойства параллельных линий и четырёхугольников. Правило вычисления площади трапеции как произведения полусуммы оснований на высоту было известно в Древнем Египте и Вавилоне при практических землемерных расчётах.

Термин «трапеция» происходит от греческого τραπέζιον — «столик», уменьшительного от τράπεζα — «стол». В средневековой европейской математике слово закрепилось благодаря переводам греческих и арабских трактатов. В России термин вошёл в употребление вместе с распространением геометрических руководств в XVIII веке; значительную роль сыграли учебники и переводные курсы геометрии того времени.

¶Применение

Свойства трапеции используются в прикладных задачах:

• в геодезии и землеустройстве — при вычислении площадей участков неправильной формы методом разбиения на трапеции;
• в строительстве и архитектуре — трапециевидные элементы встречаются в конструкциях крыш, арок, опор мостов;
• в численных методах — метод трапеций служит для приближённого вычисления определённых интегралов, заменяя криволинейную фигуру набором трапеций;
• в технике — трапециевидный профиль применяется в резьбовых соединениях и ремённых передачах.

¶Трапеция в задачах и интересные факты

Трапеция — одна из наиболее часто встречающихся фигур в заданиях по планиметрии, в том числе в контрольно-измерительных материалах по математике. Типовые задачи связаны с нахождением средней линии, площади, диагоналей, доказательством равнобедренности.

Отдельного внимания заслуживают так называемые «хорошие» трапеции, у которых основания и боковые стороны выражаются целыми числами; такие конфигурации нередко используются при составлении олимпиадных задач. Известен также факт: если продолжить боковые стороны трапеции до пересечения, то образованный треугольник подобен треугольнику, отсекаемому меньшим основанием.

В зарубежной, особенно англоязычной, традиции терминология отличается: словом trapezium в Великобритании обозначают четырёхугольник без параллельных сторон, а трапецию называют trapezoid. Это различие иногда приводит к путанице при переводе учебной литературы.

Источники: учебники геометрии для средней школы, «Начала» Евклида, справочники по элементарной математике, материалы по истории математических терминов.