Диаграмма Юнга

Диаграмма Юнга (также диаграмма Феррерса, таблица Юнга) — это комбинаторный объект, представляющий собой конечное множество клеток (ячеек), выровненных по левому краю и расположенных строками, длины которых не возрастают сверху вниз. Диаграммы Юнга являются одним из центральных понятий в теории представлений симметрических групп, алгебраической комбинаторике, теории функций симметрических многочленов и статистической физике. Они служат для графического представления разбиений натурального числа и классификации неприводимых представлений симметрических групп.

Определение и формальное описание

Диаграмма Юнга однозначно задаётся разбиением натурального числа \( n \) на упорядоченную последовательность положительных целых чисел \( \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k) \), где \( \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \ldots \ge \lambda_k > 0 \) и \( \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_k = n \). Число \( k \) называется длиной разбиения, а \( \lambda_i \) — длиной \( i \)-й строки диаграммы.

Графически диаграмма изображается в виде таблицы из клеток, в которой первая строка содержит \( \lambda_1 \) клеток, вторая — \( \lambda_2 \) клеток, и так далее. Все строки выравниваются по левому краю. Например, разбиение \( (4, 3, 1) \) числа 8 соответствует диаграмме:

`` □□□□ □□□ □ ``

В некоторых контекстах (особенно в англоязычной литературе) используется французская нотация, в которой строки располагаются снизу вверх, так что самая длинная строка находится внизу. В русскоязычной и европейской традиции чаще применяется английская нотация, где самая длинная строка — сверху.

Диаграмма Феррерса

Исторически предшественником диаграммы Юнга является диаграмма Феррерса (названная в честь американского математика Нормана Феррерса). В ней вместо клеток используются точки или кружки. Диаграмма Феррерса для разбиения \( (4, 3, 1) \) выглядит как:

`` • • • • • • • • ``

Переход от диаграммы Феррерса к диаграмме Юнга (замена точек на квадратные клетки) был введён английским математиком Альфредом Юнгом в начале XX века для нужд теории представлений.

История

Первое систематическое использование диаграмм для изучения разбиений чисел принадлежит Леонарду Эйлеру, который в XVIII веке исследовал производящие функции для числа разбиений. Однако графическое представление в виде точек было предложено Норманом Феррерсом в 1853 году. Феррерс использовал свои диаграммы для доказательства комбинаторных тождеств, связанных с разбиениями.

Альфред Юнг, английский математик и священник, в 1900–1901 годах опубликовал серию работ, в которых ввёл таблицы, названные впоследствии его именем. Юнг использовал их для изучения неприводимых представлений симметрических групп. Его работа была продолжена и развита Германом Вейлем, Исаем Шуром и другими математиками. В середине XX века диаграммы Юнга стали ключевым инструментом в теории представлений алгебр Ли и квантовой теории поля.

Классификация и основные понятия

Сопряжённая диаграмма

Для каждой диаграммы Юнга \( \lambda \) можно определить сопряжённую (или транспонированную) диаграмму \( \lambda' \), которая получается заменой строк на столбцы. Формально, \( \lambda'_j \) равно числу строк исходной диаграммы, длина которых не меньше \( j \). Например, для разбиения \( (4, 3, 1) \) сопряжённым будет разбиение \( (3, 2, 2, 1) \), так как в исходной диаграмме есть три строки длиной не менее 1, две строки длиной не менее 2, две строки длиной не менее 3 и одна строка длиной не менее 4.

Форма диаграммы

Форма диаграммы Юнга определяется её «внешним контуром» — ломаной линией, которая огибает клетки сверху и справа. Эта линия часто используется в комбинаторике и теории представлений для описания границ диаграммы.

Содержимое и длина крюка

Для каждой клетки диаграммы, расположенной в строке \( i \) и столбце \( j \), определяется её содержимое \( c(i,j) = j - i \). Это понятие важно при работе с таблицами Юнга и функциями Шура.

Длина крюка \( h(i,j) \) клетки — это количество клеток, расположенных справа от неё в той же строке, плюс количество клеток под ней в том же столбце, плюс одна (сама клетка). Формула длины крюка используется в формуле крюков для вычисления числа стандартных таблиц Юнга данной формы.

Применение

Теория представлений

В теории представлений симметрических групп \( S_n \) каждое неприводимое представление однозначно соответствует разбиению числа \( n \), а значит, и диаграмме Юнга. Размерность этого представления равна числу стандартных таблиц Юнга данной формы. Диаграммы Юнга также классифицируют неприводимые представления полных линейных групп \( GL(n, \mathbb{C}) \) и других классических групп.

Комбинаторика

Диаграммы Юнга являются основой для изучения функций Шура — симметрических многочленов, которые играют центральную роль в теории симметрических функций. Функции Шура могут быть определены как сумма по всем полустандартным таблицам Юнга данной формы. Они используются в алгебраической геометрии (исчисление Шуберта) и теории представлений.

Статистическая физика

В статистической физике диаграммы Юнга возникают в модели случайных разбиений, связанной с моделью роста кристаллов и моделью «планирующейся» поверхности. Известная формула Планшереля — Рота — Шура описывает распределение случайных диаграмм Юнга, выбранных с вероятностью, пропорциональной квадрату размерности соответствующего представления.

Теория чисел

В теории чисел диаграммы Юнга используются для визуализации и доказательства тождеств, связанных с разбиениями чисел. Например, с их помощью доказывается тождество Эйлера о числе разбиений на различные части и на нечётные части.

Таблицы Юнга

Таблицей Юнга называется диаграмма Юнга, в каждую клетку которой вписано некоторое число (обычно натуральное). Различают два основных типа:

• Стандартная таблица Юнга — числа от 1 до \( n \) (где \( n \) — общее количество клеток) вписаны в клетки таким образом, что они строго возрастают слева направо в каждой строке и сверху вниз в каждом столбце.
• Полустандартная таблица Юнга — числа могут повторяться, но они строго возрастают по столбцам и не убывают по строкам.

Число стандартных таблиц Юнга данной формы \( \lambda \) вычисляется по формуле крюков:

\[ f^\lambda = \frac{n!}{\prod_{(i,j) \in \lambda} h(i,j)}, \]

где произведение берётся по всем клеткам диаграммы.

Интересные факты

• Диаграммы Юнга тесно связаны с диаграммами Гейзенберга в квантовой теории поля и с диаграммами Брауэра в теории представлений групп.
• В 1970-х годах Дональд Кнут разработал алгоритм для построения таблиц Юнга, известный как алгоритм RSK (Робинсона — Шенстеда — Кнута), который устанавливает взаимно однозначное соответствие между перестановками и парами стандартных таблиц Юнга одинаковой формы.
• Диаграммы Юнга используются в кристаллографии для описания симметрии кристаллических решёток и в теории кодирования для построения кодов, исправляющих ошибки.

Источники

• Уильям Фултон. «Таблицы Юнга: с приложениями к теории представлений и геометрии». — М.: Мир, 1991.
• И. Г. Макдональд. «Симметрические функции и многочлены Холла». — М.: Мир, 1985.
• Джеймс Г. «Теория представлений симметрических групп». — М.: Наука, 1982.
• R. P. Stanley. «Enumerative Combinatorics». Vol. 2. — Cambridge University Press, 1999.
• Alfred Young. «On quantitative substitutional analysis» (1901).