Дифференциал — математическое понятие¶
Дифференциал — это в математике линейная главная часть приращения функции, соответствующая бесконечно малому приращению независимой переменной. Простыми словами, дифференциал показывает, на сколько изменится функция при очень малом изменении её аргумента, если считать зависимость линейной. Понятие введено в XVII веке Готфридом Лейбницем и стало основой математического анализа.
¶Определение
Пусть функция $y = f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Приращение аргумента обозначают $\Delta x$, а соответствующее приращение функции — $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Если существует конечный предел
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0),$$
то функция называется дифференцируемой, а производная $f'(x_0)$ — это скорость изменения функции. Главная линейная часть приращения и называется дифференциалом:
$$dy = f'(x_0)\,dx,$$
где $dx = \Delta x$ — приращение независимой переменной. Дифференциал первого порядка по отношению к $dx$ равен произведению производной на приращение аргумента.
Ключевое свойство: приращение $\Delta y$ и дифференциал $dy$ отличаются на бесконечно малую более высокого порядка. Это позволяет использовать дифференциал как точную линейную аппроксимацию изменения функции.
¶Связь с производной
Дифференциал и производная тесно связаны: из формулы $dy = f'(x)\,dx$ следует, что производная — это отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента:
$$f'(x) = \frac{dy}{dx}.$$
Запись $dy/dx$ пришла из лейбницевой нотации и формально выглядит как дробь, хотя дифференциалы — не числа в обычном смысле, а линейные отображения. Тем не менее это обозначение удобно и широко используется, в том числе при дифференцировании сложных функций.
¶Дифференциалы элементарных функций
Основные формулы дифференцирования переносятся на дифференциалы напрямую:
| Функция | Дифференциал |
|---|---|
| $c$ (константа) | $d(c) = 0$ |
| $x^n$ | $d(x^n) = n x^{n-1} dx$ |
| $\sin x$ | $d(\sin x) = \cos x\, dx$ |
| $e^x$ | $d(e^x) = e^x\, dx$ |
| $\ln x$ | $d(\ln x) = \frac{1}{x} dx$ |
Дифференциалы суммы, произведения и частного подчиняются правилам, зеркально отражающим правила дифференцирования: $d(u+v) = du + dv$, $d(uv) = u\,dv + v\,du$, $d(u/v) = (v\,du - u\,dv)/v^2$.
¶Дифференциалы высших порядков
Если функция дифференцируема несколько раз, можно построить дифференциал второго порядка:
$$d^2y = d(dy) = f''(x)\,dx^2.$$
Аналогично определяются дифференциалы $n$-го порядка: $d^ny = f^{(n)}(x)\,dx^n$. В теории дифференциальных уравнений именно эта нотация используется для записи соотношений между производными разных порядков.
¶Функции многих переменных
Для функции $z = f(x, y)$ двух переменных дифференциал первого порядка имеет вид
$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy,$$
где $\partial f/\partial x$ и $\partial f/\partial y$ — частные производные. Такой дифференциал называют полным дифференциалом. Функция, у которой существует полный дифференциал, называется дифференцируемой; это более строгое условие, чем существование частных производных.
Для функции трёх и более переменных формула обобщается: суммируются слагаемые вида $(\partial f/\partial x_i)\,dx_i$ по всем переменным.
¶Применение
Дифференциалы используются в нескольких направлениях:
- Линейная аппроксимация. Значение функции вблизи точки можно приблизить формулой $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Это основа методов численного анализа.
- Вычисление погрешностей. Если измеренные величины имеют ошибки $dx$, то погрешность результата оценивается через дифференциал: $\Delta y \approx |f'(x)|\,|dx|$. Метод особенно полезен при оценке точности физических измерений.
- Дифференциальные уравнения. Записи вида $dy/dx = f(x, y)$ или $(x^2 + y^2)dx - 2xy\,dy = 0$ формально основаны на дифференциалах.
- Дифференциальная геометрия. Дифференциалы кривых и поверхностей описывают их локальную геометрию — касательные, кривизну, элементы площади и длины.
- Теория вероятностей и статистика. Плотности вероятности непрерывных распределений определяются через дифференциалы функций распределения.
¶Историческая справка
Понятие дифференциала независимо друг от друга разработали Готфрид Лейбниц (конец 1670-х годов) и Isaac Ньютон (середина 1660-х, опубликовано позже). Лейбниц ввёл обозначения $dy$ и $dx$, а также символ интеграла; его нотация оказалась удобнее ньютоновских «флюксий» и стала стандартом на континенте. В XIX веке Огюстен Луи Коши и Карл Вейерштрасс сформулировали строгие определения предела и производной, устранив неопределённости «бесконечно малых» как чисел. В XX веке дифференциал был обобщён на понятие внешней производной в дифференциальной геометрии и анализе на многообразиях.
¶История
- Лейбниц Г. В. Математические записки. — М.: Наука, 1984.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Юрайт.
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа. — М.: Наука.
- Бурнаев И. В. Математический анализ. — СПб.: Лань.