Дисперсия света в физике¶
Дисперсия (от лат. dispersio — рассеивание) — в физике явление зависимости показателя преломления среды от частоты (длины волны) излучения, проходящего через эту среду. Вследствие этой зависимости разные частоты распространяются с разными фазовыми скоростями, а при прохождении через призму или дифракционную решётку свет разных цветов отклоняется на разные углы. Дисперсия наблюдается в любых средах с частотно-зависимым откликом — в прозрачных твёрдых телах, жидкостях, газах, плазме, а также в волноводах и атмосфере.
¶Основные понятия
Показатель преломления $n$ среды определяется как отношение скорости света в вакууме $c$ к фазовой скорости $v$ волны в среде: $n = c/v$. Если $n$ зависит от частоты $\omega$, то фазовая скорость $v(\omega) = c/n(\omega)$ также меняется от частоты к частоте. Именно это и называется дисперсией.
Различают нормальную и аномальную дисперсию:
- Нормальная дисперсия — показатель преломления растёт с ростом частоты ($dn/d\omega > 0$). Это типичное поведение прозрачных сред в области, удалённой от полос поглощения. Например, для стекла в видимом диапазоне $n$ для фиолетового света (~400 нм) больше, чем для красного (~700 нм).
- Аномальная дисперсия — показатель преломления убывает с ростом частоты ($dn/d\omega < 0$). Наблюдается в узких полосах поглощения, где резонансная дисперсия вещества меняет знак.
¶Количественное описание
¶Уравнение Крамерса — Кронига
Связь между действительной и мнимой частями комплексного показателя преломления $\tilde{n} = n + i\kappa$ (где $\kappa$ — коэффициент поглощения) описывается соотношениями Крамерса — Кронига. Дисперсионная кривая $n(\omega)$ полностью определяется спектром поглощения и наоборот. Это следствие причинности отклика среды на электромагнитное поле.
¶Модель Лоренца
Классическая модель дисперсии строится на представлении о том, что электроны вещества — осцилляторы, приводимые в движение электрическим полем волны. Уравнение осциллятора с затуханием даёт:
$$n^2(\omega) = 1 + \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}\sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega}$$
где $N$ — концентрация осцилляторов, $f_j$ — осцилляторные силы, $\omega_j$ — резонансные частоты, $\gamma_j$ — коэффициенты затухания. Вдали от резонансов ($\omega \ll \omega_j$) получается нормальная дисперсия; вблизи резонанса — аномальная.
¶Формула Кайера
Для прозрачных сред в области нормальной дисперсии удобна эмпирическая формула Кайера:
$$n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}$$
где $A$, $B$, $C$ — постоянные вещества. Формула хорошо описывает показатель преломления стекол и других прозрачных материалов в видимом диапазоне.
¶Проявления дисперсии
¶Призмы и спектральные приборы
Призма разлагает белый свет в спектр именно благодаря дисперсии: показатель преломления стекла для фиолетового света выше, чем для красного, поэтому фиолетовые лучи отклоняются сильнее. Дисперсионная способность призмы характеризуется отношением $dn/d\lambda$ или разностью показателей преломления для крайних лучей спектра.
¶Дифракционная решётка
На дифракционной решётке спектральное разложение основано на интерференции, а не на дисперсии среды. Однако сама решётка также обладает дисперсией — углы дифракции зависят от длины волны, что и обеспечивает спектральное разложение. Спектральный диапазон при этом может быть существенно шире, чем у призмы.
¶Дисперсия в атмосфере
Атмосферная дисперсия приводит к тому, что солнечный свет при закате и рассвете проходит через большую толщу воздуха. Синие и фиолетовые лучи сильнее рассеиваются (в том числе за счёт дисперсии показателя преломления воздуха), а красные и оранжевые достигают наблюдателя, окрашивая небо. Явление также вызывает астрономическое мерцание звёзд — быстрые изменения показателя преломления атмосферы из-за турбулентности.
¶Дисперсия в оптоволокне
В оптическом волокне дисперсия приводит к тому, что световые импульсы, состоящие из разных частотных компонент, распространяются с разными скоростями и размываются во времени. Различают материальную (объёмную) дисперсию, вызванную зависимостью $n(\lambda)$ материала сердцевины, и модовую дисперсию — различие скоростей распространения мод волокна. Современные волокна с компенсацией дисперсии позволяют передавать сигналы на десятки и сотни километров без существенных искажений.
¶Дисперсия волн других типов
Хотя термин чаще применяется к свету, дисперсия характерна для любых волн в среде с частотно-зависимым откликом. В гидродинамике дисперсионные волны — это волны, для которых фазовая скорость зависит от длины волны (например, капиллярные волны на воде). В акустике дисперсия наблюдается в волноводах и в неоднородных средах. В квантовой механике дисперсионное соотношение связывает энергию и импульс частицы, а в плазме показатель преломления зависит от частоты относительно плазменной частоты.
¶Историческая справка
Явление разложения белого света призмой было открыто Исааком Ньютоном в 1666 году. Ньютон показал, что белый свет состоит из смеси лучей разной «рефрактирующей силы», и именно дисперсия стекла позволяет их разделить. В XIX веке работы Августа Френеля и Георга Ома заложили волновую теорию дисперсии, а модель Лоренца в начале XX века объяснила дисперсию с позиций классической электродинамики. В 1920-е годы Хендрик Крамерс и Ральф Крониг сформулировали фундаментальные соотношения между дисперсией и поглощением.
Источники:
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Электродинамика сплошных сред»
- Борн М., Вольф Э. «Основы оптики»
- Сивухин Д. В. «Общий курс физики. Оптика»
- Френель А. «Избранные работы по волновой теории света»