Дробь — математическое понятие¶

Дробь — это число, записанное в виде отношения двух чисел, из которых второе не равно нулю. Дроби используются для обозначения частей целого, результатов деления, а также для точного представления чисел, которые нельзя выразить целыми. Дроби составляют основу арифметики, алгебры и анализа, применяются в естественных науках, инженерии и повседневной жизни.

¶История

Понятие дроби возникло в древности из практики деления имущества и измерения. Древние египтяне (около 1800 года до н. э.) использовали так называемые единичные дроби — дроби с числителем 1, — которые записывали особыми иероглифами. Вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления и записывали дроби в виде шестидесятеричных разрядов, что позволяло выражать дроби в виде конечных записей.

В Древней Греции теория дробей получила развитие у математиков, в частности у Евклида (III век до н. э.), который описал нахождение общего знаменателя. В Древней Индии и в исламской математике IX–X веков дроби с произвольными числителями и знаменателями получили широкое распространение.

В России термин «дробь» употреблялся с XVI века; в арифметиках XVII века дроби называли «ломаными числами». Систематическое изложение арифметики дробей связано с учебником Л. Ф. Магницкого (1703) и трудами М. В. Ломоносова.

¶Запись и названия частей

Дробь записывается в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель ($b \neq 0$). Числитель показывает, сколько частей берётся, знаменатель — на сколько частей разделено целое. Запись $\frac{a}{b}$ читается как «а б» или «а на б».

Пример: $\frac{3}{4}$ — три четвёртых; $\frac{5}{2}$ — пять вторых; $\frac{1}{10}$ — одна десятая.

¶Классификация дробей

¶По виду записи

• Обыкновенные дроби — дроби вида $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа, $b \neq 0$.
• Десятичные дроби — дроби, у которых знаменатель — степень десяти (10, 100, 1000 и т. д.); записываются после запятой: 0,5 = $\frac{5}{10}$, 0,25 = $\frac{25}{100}$.
• Смешанные числа — запись вида $2\frac{1}{3}$, представляющая сумму целого числа и обыкновенной дроби.

¶По соотношению числителя и знаменателя

• Правильные дроби — числитель меньше знаменателя по модулю ($|\frac{a}{b}| < 1$).
• Неправильные дроби — числитель больше или равен знаменателю по модулю ($|\frac{a}{b}| \geq 1$).

¶По свойствам числителя и знаменателя

• Неоконченные (конечные) дроби — дроби, у которых знаменатель имеет только простые множители 2 и 5 (в десятичной системе счисления).
• Периодические дроби — дроби, десятичное представление которых содержит бесконечно повторяющийся блок цифр (период). Например, $\frac{1}{3} = 0,\overline{3} = 0,333\ldots$
• Простые дроби — дроби, у которых числитель и знаменатель взаимно просты.
• Сокращённые дроби — дроби, у которых числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

¶Основные свойства и действия

¶Сравнение дробей

Две дроби с одинаковыми знаменателями сравниваются по числителям. Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю и затем сравнивают числители. Дробь с большим знаменателем при одинаковом числителе меньше.

¶Сокращение дробей

Дробь можно сокращать, деля числитель и знаменатель на их общий делитель. Сокращение не меняет значение дроби: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

¶Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю — обычно кратному обоих знаменателей.

¶Сложение и вычитание

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по правилу: $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$. Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.

¶Умножение и деление

При умножении дробей числители перемножаются между собой, а знаменатели — между собой: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. При делении дробей вторая дробь обращается и умножается на первую: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.

¶Десятичные дроби

Десятичная дробь — это дробь, записанная после запятой. Каждый разряд после запятой соответствует степени десяти: первая цифра — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные и т. д. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной: конечной (например, $\frac{1}{4} = 0,25$) или бесконечной периодической (например, $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$). Обратное преобразование — из десятичной дроби в обыкновенную — выполняется записью числа после запятой в виде дроби со знаменателем, равным степени десяти.

¶Применение

Дроби применяются в математике как основа для изучения рациональных чисел, алгебраических дробей и функций. В физике и химии дроби используются для записи измерений, концентраций и коэффициентов. В экономике и бухгалтерии дроби применяются при расчёте долей, процентов и курсов валют. В повседневной жизни дроби встречаются при измерении времени (четверть часа), объёма (литры и миллилитры), длины (метры и сантиметры).

¶Интересные факты

• Египетские единичные дроби допускали запись только дробей вида $\frac{1}{n}$; для представления других дробей требовалась их сумма единичных дробей.
• Вавилонская шестидесятеричная система счисления до сих пор используется в измерении времени и углов: 1 час = 60 минут, 1 градус = 60 минут.
• Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, если разрешить запись с бесконечным числом нулей.

¶Источники

• Колягин Ю. М. «Математика. 5 класс»
• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс»
• Магницкий Л. Ф. «Арифметика» (1703)
• Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона