Целые числа¶

Целые числа — это числа, которые представляют собой целые единицы и их отрицания, включая ноль. Множество целых чисел обозначается символом Z (от нем. Zahlen — «числа») и включает в себя натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Целые числа являются основой арифметики и алгебры и образуют одну из фундаментальных структур математики — кольцо целых чисел.

¶История

Представления о целых числах возникли в глубокой древности. Натуральные числа использовались для счёта задолго до появления понятия отрицательных чисел. Понятие нуля как самостоятельного числа сформировалось в Индии в первые века нашей эры, а отрицательные числа начали применяться в математических трудах индийских математиков, таких как Брахмагупта (VII век), который описывал правила сложения и вычитания «долгов» и «имущества».

В Европе отрицательные числа долго не признавались и рассматривались как «противоестественные». Систематическое использование целых чисел, включая отрицательные, закрепилось в работах математиков XVI–XVII веков, в частности у Франсуа Виета и Рене Декарта. Полное обоснование целых чисел как самостоятельной математической структуры было дано в XIX веке в трудах Рихарда Дедекинда и Георга Кантора.

¶Свойства

Множество целых чисел обладает следующими основными свойствами:

• Замкнутость относительно сложения и умножения: сумма или произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
• Отсутствие замкнутости относительно вычитания и деления: разность двух целых чисел является целым числом, но частное двух целых чисел не всегда целое (например, 6 ÷ 2 = 3, но 5 ÷ 2 = 2,5).
• Наличие нуля и единицы: ноль — нейтральный элемент по сложению, единица — нейтральный элемент по умножению.
• Наличие обратных элементов по сложению: для каждого целого числа a существует число −a, такое, что a + (−a) = 0.
• Отсутствие обратных элементов по умножению: для большинства целых чисел не существует обратного, являющегося целым числом (исключение — числа 1 и −1).
• Ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения.

Совокупность этих свойств определяет целые числа как коммутативное кольцо с единицей, которое, кроме того, является областью целостности.

¶Классификация

Целые числа делятся на три группы:

Положительные целые числа совпадают с натуральными числами (при включении нуля в натуральные числа — с ненулевыми натуральными). Отрицательные целые числа получаются из натуральных умножением на −1.

¶Связь с другими множествами чисел

Целые числа образуют цепочку вложений:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

где N — натуральные, Q — рациональные, R — действительные, C — комплексные числа. Каждое целое число является одновременно натуральным (если положительное), рациональным, действительным и комплексным числом. Обратное неверно: рациональные числа, такие как 1/2, не являются целыми.

Целые числа можно характеризовать как рациональные числа с нулём в знаменателе при сокращении дроби, либо как действительные числа, равные своим целым частям.

¶Делимость

Одна из центральных тем теории чисел — изучение свойств делимости целых чисел. Основные понятия:

• Делитель: целое число d является делителем числа a, если существует целое число k, такое, что a = d · k.
• Простое число: натуральное число больше единицы, не имеющее делителей, кроме единицы и себя самого (2, 3, 5, 7, 11, …).
• Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК).

Фундаментальное значение имеет основная теорема арифметики: каждое целое число больше единицы может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

¶Алгебраическая структура

Целые числа образуют кольцо Z, которое обладает рядом важных свойств:

• Область целостности: если произведение двух целых чисел равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
• Евклидово кольцо: для любых двух целых чисел a и b (при b ≠ 0) существуют числа q и r, такие, что a = bq + r, где 0 ≤ r < |b|. Это свойство лежит в основе алгоритма Евклида для нахождения НОД.
• Кольцо целых чисел не является полем: у него нет обратных элементов по умножению (кроме ±1). Наименьшее поле, содержащее Z, — поле рациональных чисел Q.

¶Применение

Целые числа используются в повседневной жизни для счёта, в бухгалтерском учёте (где отрицательные числа представляют долги и расходы), в информатике (целочисленные типы данных), в физике и инженерии для обозначения величин, которые могут принимать дискретные значения. В теории чисел целые числа служат основой для изучения простых чисел, криптографии и алгебраической теории чисел.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
• Новиков П. С. «Элементы математической логики»
• Винберг Э. А. «Курс алгебры»
• Зорич В. А. «Математический анализ»
• Бурбурн Г. «История математики»