Двухжидкостная модель

Двухжидкостная модель — это феноменологическая модель сверхпроводимости, предложенная в 1934 году немецкими физиками Фрицем Лондоном и Хайнцем Лондоном. Она описывает поведение сверхпроводников, находящихся в сверхпроводящем состоянии, и объясняет такие ключевые явления, как отсутствие электрического сопротивления (идеальная проводимость) и эффект Мейснера (полное выталкивание магнитного поля из объёма сверхпроводника). Модель основана на представлении о том, что электроны в сверхпроводнике существуют в двух состояниях: «сверхпроводящие» (конденсированные в куперовские пары) и «нормальные» (неспаренные). В отличие от микроскопической теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ), двухжидкостная модель является макроскопической и не требует детального описания квантово-механической природы сверхпроводимости.

История возникновения

Двухжидкостная модель была разработана вскоре после открытия сверхпроводимости (1911 год, Хейке Камерлинг-Оннес) и обнаружения эффекта Мейснера (1933 год, Вальтер Мейснер и Роберт Оксенфельд). К тому времени стало ясно, что сверхпроводники ведут себя не просто как идеальные проводники с нулевым сопротивлением, но и как идеальные диамагнетики. Фриц и Хайнц Лондоны предложили математическое описание, основанное на двухжидкостной аналогии, чтобы объяснить эти свойства.

В 1935 году братья Лондоны опубликовали уравнения, которые связывают плотность сверхпроводящего тока с магнитным полем. Эти уравнения, известные как уравнения Лондонов, стали основой двухжидкостной модели. В 1950-х годах модель была дополнена работами Виталия Гинзбурга и Льва Ландау (теория Гинзбурга — Ландау), которая, хотя и является более общей, также использует идею двух жидкостей для описания фазового перехода.

Основные положения

Двухжидкостная модель постулирует, что при температуре ниже критической (T < T_c) электронная система сверхпроводника состоит из двух компонент:

1. Сверхпроводящая жидкость — совокупность электронов, образующих куперовские пары (в рамках микроскопической теории БКШ). Эти пары обладают нулевым спином и ведут себя как бозоны, что позволяет им конденсироваться в единое квантовое состояние. Сверхпроводящая жидкость характеризуется плотностью n_s и движется без диссипации (трения), то есть без электрического сопротивления.
2. Нормальная жидкость — совокупность неспаренных электронов, которые ведут себя как обычные фермионы. Они испытывают рассеяние на дефектах решётки и фононах, что приводит к омическому сопротивлению. Плотность нормальной жидкости обозначается n_n.

Общая плотность электронов n = n_s + n_n остаётся постоянной. При T = 0 К вся электронная жидкость является сверхпроводящей (n_s = n, n_n = 0). При повышении температуры часть куперовских пар разрушается, и n_s уменьшается, а n_n возрастает. При T = T_c n_s обращается в ноль, и сверхпроводник переходит в нормальное состояние.

Уравнения Лондонов

Математически двухжидкостная модель описывается двумя уравнениями, которые связывают сверхпроводящий ток с магнитным полем:

1. Первое уравнение Лондона (для идеальной проводимости):

\[ \frac{\partial \mathbf{J}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m} \mathbf{E} \] где \(\mathbf{J}_s\) — плотность сверхпроводящего тока, \(e\) — заряд электрона, \(m\) — его масса, \(\mathbf{E}\) — напряжённость электрического поля. Это уравнение показывает, что в сверхпроводнике электрическое поле вызывает ускорение сверхпроводящих электронов без диссипации, что эквивалентно нулевому сопротивлению.

1. Второе уравнение Лондона (для эффекта Мейснера):

\[ \nabla \times \mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^2}{m} \mathbf{B} \] где \(\mathbf{B}\) — магнитная индукция. Из этого уравнения следует, что магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину \(\lambda_L\), называемую лондоновской глубиной проникновения: \[ \lambda_L = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n_s e^2}} \] где \(\mu_0\) — магнитная постоянная. Внутри сверхпроводника (на глубине, много большей \(\lambda_L\)) магнитное поле экспоненциально затухает до нуля, что и объясняет эффект Мейснера.

Классификация сверхпроводников

Двухжидкостная модель позволяет разделить сверхпроводники на два типа в зависимости от их поведения в магнитном поле:

• Сверхпроводники I рода: для них характерно полное вытеснение магнитного поля (эффект Мейснера) вплоть до критического поля H_c, при котором сверхпроводимость разрушается. Примеры: чистые металлы (ртуть, свинец, алюминий).
• Сверхпроводники II рода: у них существует два критических поля — H_c1 и H_c2. В интервале между ними магнитное поле частично проникает в сверхпроводник в виде вихрей (смешанное состояние). Двухжидкостная модель, дополненная теорией Гинзбурга — Ландау, описывает это поведение. Примеры: сплавы (ниобий-титан, Nb₃Sn) и высокотемпературные сверхпроводники.

Применение

Двухжидкостная модель, несмотря на свою простоту, широко используется для описания свойств сверхпроводников в различных приложениях:

• Расчёт критических параметров: модель позволяет оценить критическую температуру T_c, критическое магнитное поле H_c и плотность сверхпроводящего тока.
• Проектирование сверхпроводящих магнитов: для создания мощных магнитов (например, в ускорителях частиц или МРТ) необходимо знать, как сверхпроводник реагирует на магнитное поле. Двухжидкостная модель даёт первые приближения.
• Изучение высокотемпературных сверхпроводников: хотя модель Лондонов не полностью описывает такие материалы, она служит базой для более сложных теорий, учитывающих анизотропию и сильные корреляции.

Критика и ограничения

Двухжидкостная модель является феноменологической и не объясняет микроскопическую природу сверхпроводимости. Её основные ограничения:

• Отсутствие квантово-механического обоснования: модель не учитывает образование куперовских пар, когерентность и энергетическую щель. Эти явления описываются только теорией БКШ (1957 год).
• Неприменимость к высокотемпературным сверхпроводникам: в них механизм спаривания может отличаться от фононного, и двухжидкостная модель даёт лишь качественное описание.
• Игнорирование анизотропии: модель предполагает изотропные свойства, тогда как многие сверхпроводники (например, купраты) обладают сильной анизотропией.
• Не описывает смешанное состояние: для сверхпроводников II рода требуется более сложная теория (например, модель Абрикосова — Горькова).

Тем не менее, двухжидкостная модель остаётся важным педагогическим инструментом и используется для быстрых оценок в инженерных расчётах.

Интересные факты

• Термин «двухжидкостная модель» иногда применяется и в других областях физики, например, в гидродинамике для описания двухфазных потоков или в физике плазмы.
• Уравнения Лондонов были выведены до создания микроскопической теории БКШ и долгое время оставались единственным математическим описанием сверхпроводимости.
• В 1950 году Виталий Гинзбург и Лев Ландау обобщили двухжидкостную модель, введя параметр порядка, что позволило описать фазовый переход и неоднородные состояния.

Источники

• Лондон Ф., Лондон Х. «Сверхпроводимость». — М.: Иностранная литература, 1950.
• Тилли Д. Р., Тилли Дж. «Сверхпроводимость: введение в теорию и эксперимент». — М.: Мир, 1970.
• Шмидт В. В. «Введение в физику сверхпроводников». — М.: Наука, 1982.
• Абрикосов А. А. «Основы теории металлов». — М.: Наука, 1987.