Теория Гинзбурга — Ландау¶

Теория Гинзбурга — Ландау — это феноменологическая теория сверхпроводимости, предложенная советскими физиками Виталием Гинзбургом и Львом Ландау в 1950 году. Она описывает поведение сверхпроводников вблизи критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние, используя представления о параметре порядка и теории фазовых переходов второго рода. Теория является обобщением более ранней теории Лондонов и позволяет объяснить такие явления, как эффект Мейснера, квантование магнитного потока и существование двух типов сверхпроводников (I и II рода). За её разработку Виталий Гинзбург был удостоен Нобелевской премии по физике в 2003 году (совместно с Алексеем Абрикосовым и Энтони Леггеттом).

¶История создания

¶Предпосылки

К середине XX века существовали две основные теории сверхпроводимости: эмпирическая двухжидкостная модель (Гортер — Казимир) и электродинамическая теория Лондонов (1935 год), которая успешно описывала эффект Мейснера, но не объясняла микроскопическую природу явления. В 1950 году Лев Ландау и Виталий Гинзбург, работавшие в Институте физических проблем АН СССР, предложили подход, основанный на общей теории фазовых переходов второго рода, разработанной Ландау ранее.

¶Публикация и признание

Статья «К теории сверхпроводимости» была опубликована в 1950 году в «Журнале экспериментальной и теоретической физики». Первоначально теория воспринималась как вспомогательная, но после открытия в 1957 году микроскопической теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) стало ясно, что уравнения Гинзбурга — Ландау могут быть выведены из неё вблизи критической температуры. В 2003 году Нобелевский комитет отметил вклад Гинзбурга и Абрикосова (развившего теорию для сверхпроводников II рода) в развитие феноменологической теории сверхпроводимости.

¶Основные положения

¶Параметр порядка

Центральным понятием теории является комплексный параметр порядка \(\psi(\mathbf{r})\), который описывает плотность сверхпроводящих электронов (куперовских пар) в точке с координатой \(\mathbf{r}\). Вблизи критической температуры \(T_c\) параметр порядка мал и может быть разложен в ряд по степеням. В сверхпроводящем состоянии \(|\psi|^2\) пропорциональна плотности сверхпроводящих носителей заряда.

¶Уравнения Гинзбурга — Ландау

Теория основана на двух связанных дифференциальных уравнениях, которые минимизируют свободную энергию системы:

1. Первое уравнение (для параметра порядка):

\[ \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m} \left( -i\hbar \nabla - \frac{2e}{c} \mathbf{A} \right)^2 \psi = 0 \] где \(\alpha\) и \(\beta\) — феноменологические коэффициенты, \(\mathbf{A}\) — векторный потенциал магнитного поля, \(m\) и \(e\) — масса и заряд электрона, \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка, \(c\) — скорость света.

1. Второе уравнение (для плотности тока):

\[ \mathbf{j} = \frac{2e\hbar}{m} |\psi|^2 \left( \nabla \theta - \frac{2e}{\hbar c} \mathbf{A} \right) \] где \(\theta\) — фаза параметра порядка. Это уравнение описывает сверхпроводящий ток, который пропорционален градиенту фазы и векторному потенциалу.

¶Коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\)

Коэффициент \(\alpha\) меняет знак при \(T = T_c\): \(\alpha(T) = \alpha_0 (T - T_c)\), где \(\alpha_0 > 0\). Коэффициент \(\beta > 0\) обеспечивает стабилизацию параметра порядка в сверхпроводящем состоянии. Вблизи \(T_c\) параметр порядка ведёт себя как \(|\psi|^2 \propto (T_c - T)\).

¶Классификация сверхпроводников

¶Длина когерентности и глубина проникновения

Теория вводит два характерных масштаба:

• Длина когерентности \(\xi\) — расстояние, на котором параметр порядка может существенно изменяться. Определяется как \(\xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m |\alpha|}}\).
• Глубина проникновения магнитного поля \(\lambda\) — расстояние, на которое магнитное поле проникает в сверхпроводник (лендоновская глубина). В теории Гинзбурга — Ландау \(\lambda = \sqrt{\frac{m c^2}{4\pi e^2 |\psi|^2}}\).

¶Параметр Гинзбурга — Ландау \(\kappa\)

Отношение \(\kappa = \lambda / \xi\) определяет тип сверхпроводника:

• \(\kappa < 1/\sqrt{2} \approx 0.707\) — сверхпроводники I рода. Они обладают полным эффектом Мейснера и резким переходом в нормальное состояние при достижении критического магнитного поля \(H_c\).
• \(\kappa > 1/\sqrt{2}\) — сверхпроводники II рода. В них возможно частичное проникновение магнитного поля в виде вихрей Абрикосова (смешанное состояние). Критическое поле \(H_{c2}\) может значительно превышать \(H_c\). Примеры: ниобий, сплавы NbTi, высокотемпературные сверхпроводники.

¶Применение и значение

¶Технические приложения

Теория Гинзбурга — Ландау лежит в основе понимания свойств сверхпроводящих материалов, используемых в:

• Сверхпроводящих магнитах (например, в МРТ, ускорителях частиц, токамаках) — благодаря высоким критическим полям сверхпроводников II рода.
• Сверхпроводящих квантовых интерферометрах (СКВИД) — устройствах для измерения сверхслабых магнитных полей, работа которых основана на квантовании магнитного потока.
• Сверхпроводящих кабелях — для передачи электроэнергии без потерь.

¶Научное значение

• Теория позволила предсказать существование сверхпроводников II рода и вихревого состояния (Абрикосов, 1957 год), что было подтверждено экспериментально.
• Она является эффективным инструментом для анализа неоднородных сверхпроводящих систем, например, тонких плёнок, контактов Джозефсона и наноструктур.
• В 1960-е годы теория была обобщена на случай нестационарных процессов (временная зависимость параметра порядка), что привело к созданию модели Гинзбурга — Ландау — Абрикосова — Горькова (ГЛАГ).

¶Критика и ограничения

• Теория является феноменологической — она не объясняет микроскопический механизм сверхпроводимости (это сделано в теории БКШ). Коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) подбираются эмпирически.
• Она строго применима только вблизи критической температуры \(T_c\), где параметр порядка мал. Вдали от \(T_c\) точность падает.
• Для высокотемпературных сверхпроводников (например, купратов) теория в её исходной форме не всегда адекватна из-за сильных флуктуаций и анизотропии, хотя её модификации (например, с учётом d-волнового спаривания) используются.

¶Интересные факты

• Уравнения Гинзбурга — Ландау математически аналогичны уравнениям Гросса — Питаевского для конденсата Бозе — Эйнштейна, что указывает на глубокую связь сверхпроводимости и сверхтекучести.
• В 1959 году Лев Горьков показал, что теория Гинзбурга — Ландау может быть выведена из микроскопической теории БКШ вблизи \(T_c\), что подтвердило её обоснованность.
• Параметр \(\kappa\) для чистого свинца (сверхпроводник I рода) составляет около 0.3, а для ниобия (II рода) — около 1.5.

¶Источники

• Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ. — 1950. — Т. 20. — С. 1064.
• Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. — 1957. — Т. 32. — С. 1442.
• Тилли Д., Тилли Дж. Сверхтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977.
• Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МЦНМО, 2000.